6.3 与圆有关的计算[过关演练] (30分钟 75分)1.(2022·湖北天门)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则nπR180=2πr=πR,解得n=180°.2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧AB的长为(C)A.2π3B.πC.4π3D.5π3【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧AB的长为120π×2180=4π3.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.42D.89\n【解析】由题意知BE的长为90π×16180=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为8π2π=4.4.(2022·四川资阳)如图,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.π6a2B.π6-34a2C.34a2D.π3-34a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为12×a×a×sin60°=34a2,∴正六边形面积为332a2,∴阴影面积为πa2-332a2×16=π6-34a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=22,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则DE的长为(B)A.π4B.π2C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=12AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=22,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴DE的长为90π×1180=π2.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.9\n7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.5π4C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=OA2+OB2=13,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=13,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=12×5×2+12×2×3+90π×32360-90π×(13)2360=8-π.8.(2022·合肥模拟)如图,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA上,点F在半径OB上,点E在AB上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.3π∶4D.5π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴OD=2x,∴OE=5x,∴S正方形=x2,S扇=45π·(5x)2360=58πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为 8 . 【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=23,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是 5π2 . 9\n【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=23,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为150π×3180=5π2.11.如图,点B,C把AD分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是 π8 . 【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把AD分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=14π·OD2-2×12×22×22+12×1×1-45π·OD2360=π4-12+12-π8=π8.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=123,OP=6,则劣弧AB的长为 8π .(结果保留π) 【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=12AB=63.在Rt△OBP中,OB=OP2+BP2=62+(63)2=12,tan∠POB=PBOP=636=3,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧AB的长为120π·12180=8π.13.(2022·四川宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S= 23 .(结果保留根号) 【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=33,∴AB=233,∴S=6S△ABO=6×12×233×1=23.9\n14.(8分)(2022·浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴AC=CD,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴AC=72π×5180=2π.15.(10分)(2022·江西)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120cm,两扇活页门的宽OC=OB=60cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos∠OBH=BHOB,∴BH=60·cos50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为60·π·60180=20π≈62.8(cm).[名师预测]9\n1.如图,用—个半径为5cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为108×π×5180=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=90·π·42360-12×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是23,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.33B.93C.183D.363【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为23.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=23,∠AOB=360°6=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=23.∵OG⊥AB,∴AG=12AB=3.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG=AO2-AG2=(23)2-(3)2=9=3,∴S△AOB=12AB×OG=12×23×3=33.∴S六边形ABCDEF=6S△AOB=6×33=183.4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为 4π3-3 . 9\n【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=12AB=2,BE=42-22=23,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△BOE=120π×22360-12×12AE·BE=4π3-14×2×23=4π3-3.5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的EF上.若∠BAD=120°,则BC的长度等于 π3 .(结果保留π) 【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴BC的长度为60×π×1180=π3.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为AD的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求BM的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴AB=CD,∵M为AD的中点,∴AM=DM,∴BM=CM,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵BM=CM,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC=360°4=90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得BM的长为135×2×π180=3π2.9\n7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=12OA=12×3=32,AM=3OM=332,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=33,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=120π×32360-12×33×32=3π-934.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,9\n∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-12(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-12(∠EOP+∠OPE)=180°-12(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(OMC和ONC).当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2cm,∴O'O=22OC=22×2=2,∴弧OMC的长=90π×2180=22π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为22πcm,所以内心M所经过的路径长为2×22π=2πcm.9
