7.2 视图、投影、尺规作图[过关演练] (30分钟 80分)1.把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射,此时正六棱柱的正投影是(A)【解析】易知正投影是正六边形.2.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的,则它的主视图是(B)【解析】从正面看,下方是一个较大的矩形,上方是一个较小的矩形.3.(2022·四川泸州)如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是(B)【解析】从上面看第一列是两个小正方形,第二列是一个小正方形,第三列是一个小正方形.4.(2022·山东聊城)如图所示的几何体,它的左视图是(D)8\n【解析】从左边看是等宽的上下两个矩形,上边的矩形小,下边的矩形大,两矩形的公共边是虚线.5.下列几何图形,主视图、俯视图、左视图都相同的是(B)【解析】结合选项知,只有球的三视图都是圆,B符合题意.6.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是(D)A.3B.4C.5D.6【解析】左视图与主视图相同,可判断出底面最少有2个,最多有4个小正方体.而第二层则只有1个小正方体.则这个几何体的小立方块可能有3或4或5个.7.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图,那么在这个正方体的表面,与“我”相对的面上的汉字是(D)A.花B.是C.攀D.家【解析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“我”与“家”是相对面;“攀”与“花”是相对面;“枝”与“是”是相对面.8.(2022·浙江嘉兴)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是(C)【解析】由作图可知,AC⊥BD,且平分BD,即对角线平分且垂直的四边形是菱形,A正确;由作图可知AB=BC,AD=AB,即四边相等的四边形是菱形,B正确;由作图可知AB=DC,AD=BC,只能得出四边形ABCD是平行四边形,C错误;由作图可知对角线AC平分对角,可以得出四边形ABCD是菱形,D正确.9.(2022·河南)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E8\n为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为(A)A.(5-1,2)B.(5,2)C.(3-5,2)D.(5-2,2)【解析】设AC与y轴相交于点H,∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=5,由题可得OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=5,∴HG=5-1,∴G点坐标为(5-1,2).10.如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图,则该几何体的侧面积是(C)A.200cm2B.600cm2C.200πcm2D.100πcm2【解析】观察三视图知该几何体为圆柱,高(图上距离)为2cm,底面直径(图上距离)为1cm,∵比例尺为1∶10,∴该圆柱体的高的实际长度为20cm,底面直径的实际长度为10cm,∴侧面积为10×20·π=200π(cm2).11.三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8cm,EG=12cm,∠EFG=45°.则AB的长为 42 cm. 【解析】过点E作EQ⊥FG于点Q,由题意可得出EQ=AB,∵EF=8cm,∠EFG=45°,∴EQ=AB=22×8=42(cm).8\n12.如图,OP平分∠MON,A是边OM上一点,以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧,交ON于点B,C,再分别以点B,C为圆心,大于12BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD分别交OP,ON于点E,F.若∠MON=60°,EF=1,则OA= 23 . 【解析】由作法得AD⊥ON于点F,∴∠AFO=90°,∵OP平分∠MON,∴∠EOF=12∠MON=12×60°=30°,在Rt△OEF中,OF=3EF=3,在Rt△AOF中,∠AOF=60°,∴OA=2OF=23.13.(2022·山东青岛)一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体,其最下面一层摆放了9个小立方块,它的主视图和左视图如图所示,那么这个几何体的搭法共有 10 种. 【解析】设俯视图有9个位置,由主视图和左视图知:①第1个位置一定是4,第6个位置一定是3;②一定有2个2,其余有5个1;③最后一行至少有一个2,当中一列至少有一个2.根据排列不同,这个几何体的搭法共有10种.14.如图,已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是 21.3cm .(精确到0.1cm) 【解析】画出圆柱的侧面展开图如图,其中B是侧面展开图矩形长的中点,所以由勾股定理得AB2=102+(6π)2,解得AB≈21.3cm,即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是21.3cm.15.(10分)已知直线l及其两侧两点A,B,如图.(1)在直线l上求一点P,使PA=PB;(2)在直线l上求一点Q,使l平分∠AQB.(以上两小题保留作图痕迹,标出必要的字母,不要求写作法)解:如图.8\n16.(10分)如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.(1)求楼房的高度约为多少米?(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫 (填“能”或“不能”)晒到太阳. (参考数据:3≈1.73)解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,∵tan60°=ABAE=AB10,∴AB=10·tan60°=103≈10×1.73=17.3(米).∴楼房的高度约为17.3米.(2)当α=45°时,小猫仍可以晒到太阳.理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与CM或其延长线的交点为点H.∵∠BFA=45°,∴tan45°=ABAF=1,此时的影长AF=AB=17.3米,∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(米),∴CH=CF=0.1米,∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,∴小猫能晒到太阳.[名师预测]1.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是(A)【解析】一根圆柱形的空心钢管不管怎么放置,它的三视图不可能是三角形,∴主视图不可能是A项.8\n2.如图,有一个正方体纸巾盒,它的平面展开图是(B)【解析】根据展开图的各面相邻或相对特点进行判断,也可动手操作.3.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的三视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有(C)A.9个B.5个C.6个D.7个【解析】结合三视图可知,这个几何体的底层有2+1+1+1=5个小正方体,第二层有1个小正方体,因此构成这个几何体的小正方体有5+1=6个.4.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是(A)A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD【解析】连接CD,BD,∵AC=CD,AB=BD,∴BH为线段AD的垂直平分线,A正确.对于B,C,D,由题中条件并不能证明.5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4.以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;再分别以点B和点D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两弧相交于点E;作射线CE交AB于点F.则AF的长为(B)8\nA.5B.6C.7D.8【解析】由题意可知,CE⊥AB,∴∠AFC=90°,在Rt△ABC中,∵BC=4,∠A=30°,∠ACB=90°,∴AC=43.在Rt△AFC中,∵∠A=30°,∠AFC=90°,∴AF=43×32=6.6.如图,一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形,则这个几何体表面积的大小为 15π+12 . 【解析】通过三视图,易知几何体的形状如图,上、下底面的面积和为2×34πr2=2×34π×22=6π.侧面积为34×2πrh+2×2×3=34×2π×2×3+12=9π+12.所以这个几何体的表面积为6π+9π+12=15π+12.7.我国古代有这样一道数学题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有一条葛藤从点A处向上缠绕,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是 25 尺. 【解析】将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开图画出,并连接其对角线即为每段的最短长度=32+42=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25尺.8.用小立方块搭一个几何体,使从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示,从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,试回答下列问题:8\n(1)从上面看到的形状图中a= ,d= ; (2)这个几何体最少由 个小立方块搭成,最多由 个小立方块搭成; (3)请在下面所给网格图中画出小立方块最多时,从左面看到的该几何体的形状图.(为便于观察,请将形状图中的小方格用斜线阴影标注,示例:)解:(1)1;1.(2)10;15.(3)小立方块最多时,从左面看到的该几何体的形状图如图所示.8
