6.2 与圆有关的位置关系[过关演练] (40分钟 90分)1.(2022·湖南湘西州)已知☉O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与☉O的位置关系为(B)A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解析】∵圆心到直线的距离=圆的半径,∴直线和圆相切.2.如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是(B)A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心【解析】如图,点O是△ABC的边AC的垂直平分线和边BC的垂直平分线的交点,即点O是△ABC的外心.3.(2022·广东深圳)如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是(D)11\nA.3B.33C.6D.63【解析】设三角板与圆的切点为C,光盘的圆心为O,连接OA,OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=33,∴光盘的直径为63.4.(2022·山东泰安)如图,BM与☉O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为(A)A.40°B.50°C.60°D.70°【解析】连接OA,OB,∵BM是☉O的切线,∴∠OBM=90°,∵∠MBA=140°,∴∠ABO=50°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=50°,∴∠AOB=80°,∴∠ACB=12∠AOB=40°.5.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是(D)A.4<AB≤5B.8<AB≤10C.4≤AB≤5D.8≤AB≤10【解析】∵大圆的弦AB与小圆有公共点,即弦AB与小圆相切或相交.当AB与小圆相切时,AB最小,∵大圆半径为5,小圆的半径为3,∴AB的最小值为252-32=8.当AB过圆心时,AB最大,为10,∴8≤AB≤10.6.如图,AB是☉O的直径,AM,BN是☉O的两条切线,点D,点C分别在AM,BN上,DC切☉O于点E.连接OD,OC,BE,AE,BE与OC相交于点P,AE与OD相交于点Q,已知AD=4,BC=9.以下结论:①☉O的半径为132;②OD∥BE;③PB=181313;④tan∠CEP=23.其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由切线长定理可知AD=DE=4,BC=CE=9,∴DC=4+9=13,过点D作DH⊥BC于点H,∴HC=9-4=5,∴DH=132-52=12,即AB=12,∴☉O的半径为122=6,故①错误;由切线长定理可知OD⊥AE,∴∠AQO=90°,又∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∴∠AQO=∠AEB,∴OD∥BE,故②正确;在Rt△AOD中,∵AO=6,AD=4,∴OD=42+62=213,∴cos∠ADO=ADOD=4213=213,又∵∠CBE=∠CEB=∠CDO=∠ADO,∴cos∠CBE=BPBC=213,解得BP=181313,故③正确;在Rt△AOD中,tan∠ADO=AOAD=64=32,又∵OD∥BE,∴∠CEP=∠CDO=∠ADO,∴tan∠CEP=32,故④错误.11\n7.(2022·黑龙江大庆)在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 2 . 【解析】∵∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC=102-62=8,∴这个三角形的内切圆半径=6+8-102=2.8.(2022·山东威海)如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切圆,连接AE,BE,则∠AEB的度数为 135° . 【解析】连接EC.∵点E是△ADC的内心,∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°,在△AEC和△AEB中,AE=AE,∠EAC=∠EAB,AC=AB,∴△EAC≌△EAB,∴∠AEB=∠AEC=135°.9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以OB长为半径的☉O与AC相切于点D,交BC于点F,OE⊥BC,则弦BF的长为 2 . 【解析】连接OD,∵☉O与AC相切,∴OD⊥AC,∵∠C=90°,OE⊥BC,∴四边形CDOE是矩形,∵OD=OB=2,∴CE=OD=2,∵BC=3,∴BE=1,∴BF=2.10.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m= 1 ; (2)当m=2时,d的取值范围是 1<d<3 . 【解析】(1)当d=3时,又圆的半径为2,则圆上只有一个到直线l的距离等于1的点,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,这时d的取值范围是1<d<3.11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(0,3),(4,3),(0,-1),则△ABC外接圆的圆心坐标为 (2,1) . 11\n【解析】作弦AB,AC的垂直平分线,根据垂径定理的推论,则交点O1即为圆心,∵点A,B,C的坐标分别为(0,3),(4,3),(0,-1),∴O1的坐标是(2,1).12.如图,在△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动;与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动.过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 178 s时,以C点为圆心、1.5cm为半径的圆与直线EF相切. 【解析】设运动时间为t,则AC=2t,BD=1.5t,OC=8-2t,OD=6-1.5t,∴OCOA=ODOB,∵∠O=∠O,∴△OCD∽△OAB,∴∠OCD=∠A,∵EF⊥CD,∴∠EFC=∠O=90°,∴△EFC∽△BOA,∴CFCE=OAAB,∵CE=12OC=4-t,∴CF=45(4-t),当CF=1.5时,直线EF与圆相切,∴45(4-t)=1.5,解得t=178.13.(8分)(2022·辽宁抚顺)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,点D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.解:(1)连接OC.∵CB=CD,CO=CO,OB=OD,∴△OCB≌△OCD,∴∠ODC=∠OBC=90°,∴OD⊥DC,∴DC是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△OBE中,∵OE2=EB2+OB2,∴(8-r)2=r2+42,∴r=3,∵tan∠E=OBEB=CDDE,∴34=CD8,∴CD=BC=6,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=62+62=62.11\n14.(8分)(2022·天津)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图1,若D为AB的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.解:(1)∵AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-38°=52°,∵D为AB的中点,∠AOB=180°,∴∠AOD=90°,∴∠ABD=45°.(2)连接OD,∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°,由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°,∵∠AOD是△ODP的一个外角,∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°,∴∠ACD=64°,∵OC=OA,∠BAC=38°,∴∠OCA=∠BAC=38°,∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64°-38°=26°.15.(10分)(2022·湖北黄石)如图,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=23,∠BCD=120°,A为BE的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.解:(1)连接DE,∵∠BCD+∠DEB=180°,∴∠DEB=180°-120°=60°,∵BE为直径,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE中,DE=12BE=12×23=3,BD=3DE=3×3=3.(2)连接EA,∵BE为直径,∴∠BAE=90°,∵A为BE的中点,∴∠ABE=45°,∵BA=AP,EA⊥BA,11\n∴△BEP为等腰直角三角形,∴∠PEB=90°,∴PE⊥BE,∴直线PE是☉O的切线.16.(10分)已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D.(1)如图1,求∠ADC的大小;(2)如图2,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与AB交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.解:(1)∵CD是☉O的切线,C为切点,∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,即AD∥OC.∴∠ADC=90°.(2)连接OB,则OB=OA=OC.∵四边形OABC是平行四边形,∴OC=AB.∴OA=OB=AB,即△AOB是等边三角形.∴∠AOB=60°.由OF∥CD,∠ADC=90°,得∠AEO=∠ADC=90°.∴OF⊥AB,∴BF=AF,∴∠FOB=∠FOA=12∠AOB=30°,∴∠FAB=12∠FOB=15°.[名师预测]1.如图,AB是☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠ABC的度数为(B)A.20°B.25°C.40°D.50°【解析】∵PA是切线,∠P=40°,AB是☉O的直径,∴∠PAO=90°,∠POA=50°,∴∠ABC=12∠POA=25°.11\n2.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于(D)A.20°B.25°C.40°D.50°【解析】连接OA,∵AC是☉O的切线,∴∠OAC=90°,∵∠B=20°,∴∠AOC=40°,∴∠C=50°.3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)A.133B.92C.4133D.25【解析】连接OE,OF,ON,OG,如图,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,CD=AB=4.∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∴四边形AFOE,FBGO都是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3,∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+MN)2=(3-MN)2+42,解得MN=43,∴DM=3+43=133.4.如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交☉O于点E,连接OC,BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 4 . 【解析】设OC交BE于点F.∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=∠DEF=90°,∵直线l与☉O相切于点C,∴OC⊥l,又AD⊥l,∴四边形CDEF是矩形,∴OC⊥BE,EF=DC.在Rt△ABE中,AB=2OA=10,AE=6,∴BE=AB2-AE2=102-62=8,∴EF=12BE=4,∴CD=EF=4.5.如图,☉M与x轴相交于点A(2,0),B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是 (5,4) . 11\n【解析】连接AM,作MN⊥x轴于点N,∴AN=BN.∵点A(2,0),点B(8,0),∴OA=2,OB=8,∴AB=OB-OA=6,∴AN=BN=3,∴ON=OA+AN=2+3=5,∴点M的横坐标是5.∵☉M与y轴相切,∴圆的半径是5.在Rt△AMN中,MN=AM2-AN2=52-32=4,∴点M的纵坐标是4,即点M的坐标是(5,4).6.如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为BC的中点.(1)求证:AB=BC;(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.解:(1)∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=12∠AOB=30°,∴∠OCB=∠A,∴AB=BC.(2)四边形BOCD为菱形.理由:连接OD,交BC于点M,∵D是BC的中点,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD,∴OM=MD,∴四边形BOCD为菱形.7.如图,已知A,B是☉O上两点,△OAB外角的平分线交☉O于另一点C,CD⊥AB交AB的延长线于点D.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)E为AB的中点,F为☉O上一点,EF交AB于点G,若tan∠AFE=34,BE=BG,EG=310,求☉O的半径.11\n解:(1)连接OC,如图,∵BC平分∠OBD,∴∠OBC=∠CBD,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠CBD,∴OC∥AD,∵CD⊥AB,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.(2)连接OE,交AB于点H,∵E为AB的中点,∴OE⊥AB,∵∠ABE=∠AFE,∴tan∠ABE=tan∠AFE=34,∴在Rt△BEH中,tan∠HBE=EHBH=34.设EH=3x,BH=4x,∴BE=5x,∵BG=BE=5x,∴GH=x,在Rt△EHG中,x2+(3x)2=(310)2,解得x=3,∴EH=9,BH=12,设☉O的半径为r,则OH=r-9,在Rt△OHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=252,即☉O的半径为252.8.如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.(1)若∠B=30°,求证:以A,O,D,E为顶点的四边形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,连接AD,求☉O的半径和AD的长.解:(1)如图1,连接OD,OE,ED.11\n∵BC与☉O相切于点D,∴OD⊥BC.∴∠ODB=90°=∠C,∴OD∥AC.∵∠B=30°,∴∠A=60°.∵OA=OE,∴△AOE是等边三角形,∴AE=AO=OD,∴四边形AODE是平行四边形.又∵OA=OD,∴四边形AODE是菱形.(2)设☉O的半径为r.∵OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.∴ODAC=OBAB,即r6=10-r10,解得r=154,∴☉O的半径为154.如图2,连接OD,DF.∵OD∥AC,∴∠DAC=∠ADO.∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO.∴∠DAC=∠DAO.∵AF是☉O的直径,∴∠ADF=90°=∠C.∴△ADC∽△AFD,∴ADAC=AFAD,∴AD2=AC·AF.∵AC=6,AF=154×2=152,∴AD2=152×6=45,∴AD=35.9.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.11\n解:(1)作OH⊥AC于点H,如图,∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC,∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切线.(2)∵F是AO的中点,∴AO=2OF=6,∵OE=3,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=3OE=33,∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=12×3×33-60·π·32360=93-3π2.(3)作F点关于BC的对称点F',连接EF'交BC于点P',连接P'F,如图,∵P'F=P'F',∴P'E+P'F=P'E+P'F'=EF',此时EP+FP最小,∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',∵∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=33,即PE+PF的最小值为33,在Rt△OP'F'中,OP'=33OF'=3,在Rt△ABO中,OB=33OA=33×6=23,∴BP'=23-3=3,即当PE+PF取最小值时,BP的长为3.11
