方法技巧专题(三) 整体思想训练【方法解读】整体思想是研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.1.[2022·乐山]已知实数a,b满足a+b=2,ab=34,则a-b=( )A.1B.-52C.±1D.±522.[2022·泸州]如图F3-1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为( )图F3-1A.20B.16C.12D.83.[2022·济宁]如图F3-2,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是( )6\n图F3-2A.50°B.55°C.60°D.65°4.[2022·襄阳]如图F3-3,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )图F3-3A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm5.[2022·岳阳]已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为 . 6.[2022·扬州]若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2022的值为 . 7.[2022·成都]x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为 . 8.[2022·江西]一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则x12-4x1+2x1x2的值为 . 9.[2022·黄冈]若a-1a=6,则a2+1a2的值为 . 10.计算(1-12-13-14-15)(12+13+14+15+16)-(1-12-13-14-15-16)(12+13+14+15)的结果是 . 11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.6\n12.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求下列各式的值:(1)a2+b2和ab;(2)a4+b4;(3)1a2+2+1b2+2.6\n参考答案1.C [解析]∵a+b=2,∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,又∵ab=34,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×34=1,∴a-b=±1.故选C.注:此题把“a+b”,“ab”分别当作整体.2.B [解析]因为▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,所以O为AC的中点.又因为E是AB的中点,所以AE=12AB,EO是△ABC的中位线,所以EO=12BC.因为AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO)=8.在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,所以周长为2(AB+BC)=2×8=16.故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.3.C [解析]根据五边形的内角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度数,再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和,进一步求得∠P的度数.∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD,∠CDE的平分线在五边形内相交于点P,∴∠PDC+∠PCD=12(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°-120°=60°.故选C.注:此题把“∠BCD+∠CDE”当作整体.4.B [解析]由尺规作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,AC=2AE=6(cm),6\n∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm,∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19(cm).故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.5.5 [解析]∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=5.注:此题把“a2+2a”当作整体.6.2022 [解析]由题意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2022=2022,故答案为2022.注:此题把“2m2-3m”当作整体.7.0.36 [解析]∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②,得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.注:此题把“x+y”“x+3y”“x+2y”分别当作整体.8.2 [解析]∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,x12-4x1+2=0,即x12-4x1=-2,∴x12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.9.8 [解析]∵a-1a=6,∴原式=a2+1a2-2·a·1a+2·a·1a=(a-1a)2+2=(6)2+2=8.注:此题把“a-1a”当作整体.10.16 [解析]设12+13+14+15=a,则原式=(1-a)·(a+16)-(1-a-16)=16+56a-a2-56a+a2=16.注:此题中的整体是“12+13+14+15”.11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).∵m是方程x2+x-2=0的根,∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,∴原式=2×(2-1)=2.6\n注:此题把“m2+m”当作整体.12.解:(1)依题意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.①-②,得4ab=4,即ab=1.(2)a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=52-2×12=25-2=23.(3)原式=b2+2(a2+2)(b2+2)+a2+2(a2+2)(b2+2)=a2+b2+4(ab)2+2(a2+b2)+4=5+412+2×5+4=35.注:此题把“ab”“a2+b2”分别当作整体.6
