方法技巧专题(八) 面积训练【方法解读】1.面积公式:(1)三角形的面积=12×底×高=12×周长×内切圆的半径;(2)矩形的面积=长×宽;(3)平行四边形的面积=底×高;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;(5)正方形的面积等于边长的平方;(6)梯形的面积=12×(上底+下底)×高;(7)圆的面积=πR2;(8)扇形的面积=nπR2360=12lR;(9)弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积;(10)相似三角形面积的比等于相似比的平方.2.面积的计算技巧:(1)利用“等底等高等积”进行转化;(2)用两种不同的方法分割同一整体;(3)“割补法”;(4)平移变换;(5)旋转变换等.1.[2022·德阳]如图F8-1,将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为( )图F8-1A.3B.3C.3-3D.3-3212\n2.[2022·海南]如图F8-2,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图F8-2的▱KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为( )图F8-2A.24B.25C.26D.273.[2022·威海]如图F8-3,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC的中点,以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆的中点,连结AF,EF,图中阴影部分的面积是( )图F8-3A.18+36πB.24+18πC.18+18πD.12+18π4.如图F8-4,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为( )图F8-4A.4B.2C.22D.25.[2022·乌鲁木齐]如图F8-5,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处.若矩形面积为43且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为( )12\n图F8-5A.1B.3C.2D.236.[2022·广安]如图F8-6,已知☉O的半径是2,点A,B,C在☉O上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分的面积为( )图F8-6A.23π-23B.23π-3C.43π-23D.43π-37.如图F8-7,点C在线段AB上,若△CDB和△ADE分别是边长为2和3的等边三角形,则△ABE的面积是 . 图F8-78.[2022·河南]如图F8-8,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B'C',其中点B的运动路径为弧BB',则图中阴影部分的面积为 . 12\n图F8-89.设△ABC的面积为1,如图F8-9①,将边BC,AC分别2等分,BE1,AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图F8-9②,将边BC,AC分别3等分,BE1,AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;…,依此类推,则Sn可表示为 .(用含n的代数式表示,其中n为正整数) 图F8-910.[2022·扬州]如图F8-10,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.图F8-1012\n11.如图F8-11,在▱ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上一点,点F是边CD上一点,将▱ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为点H,点D的对应点为点G.(1)当点H与点C重合时,①填空:点E到CD的距离是 ; ②求证:△BCE≌△GCF;③求△CEF的面积.(2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出△MEF的面积.温馨提示:学生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图F8-1112\n12\n参考答案1.C [解析]由旋转可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.∵∠BAM=∠BC'M=90°,且AB=BC',BM=BM,∴Rt△ABM≌Rt△C'BM,∴∠2=∠3=30°.在Rt△ABM中,AB=3,∠2=30°,则AM=ABtan30°=1.∴S△ABM=S△BMC'=32,∴S阴影=S正方形A'B'C'D'-(S△ABM+S△BMC')=3-3.故选C.2.B [解析]设长方形纸片长、宽分别为x,y,正方形纸片边长为z.∵四边形OPQR是正方形,∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①.∵▱KLMN的面积为50,∴xy+z2+(z-y)2=50,把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50.整理,得2z2=50,∴z2=25,∴正方形EFGH的面积=z2=25.故选B.3.C [解析]如图,过点F作FH⊥BC,交BC延长线于点H,连结AE.∵点E为BC的中点,点F为半圆的中点,∴BE=CE=CH=FH=12AB=12×12=6,AE=62+122=65,易得Rt△ABE≌△EHF,12\n∴∠AEB=∠EFH,而∠EFH+∠FEH=90°,∴∠AEB+∠FEH=90°,∴∠AEF=90°,∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-S△ABE-S△AEF=12×12+12×π×62-12×12×6-12×65×65=18+18π.故选C.4.D [解析]连结CF,则由正方形的对角线的性质可知BD∥CF,∴S△DBF=S△DBC=12S正方形ABCD=12×22=2.故选D.5.C [解析]过点G作GM⊥AD,垂足为M.∵GE=2BG,∴设BG=x,GE=2x.∵∠AFG=60°,AD∥BC,∴∠FGE=∠AFG=60°.∵四边形FDCE折叠得到四边形FGHE,∴∠GFE=∠DFE=180°-∠AFG2=60°,DF=FG,∴△FGE是等边三角形,∴EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在Rt△FMG中,GM=GFsin∠AFG=3x,FM=GFcos∠AFG=x.易证四边形ABGM是矩形,∴AM=BG=x,AB=GM=3x,∴AD=AM+FM+DF=4x.∵矩形ABCD的面积为43,∴AD×AB=4x×3x=43,12\n解得x=1,∴EF=2x=2.故选C.6.C [解析]如图.连结AC,交OB于点D.∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO.∵AO=BO,∴AO=BO=AB,∴△ABO是等边三角形,则∠AOB=60°,同理∠BOC=60°,∴∠AOC=120°.在Rt△ADO中,∵AO=2,DO=1,∴AD=3.可知BO=2,AC=23,∴S扇形AOC=120π×22360=43π,S菱形OABC=12×2×23=23,则阴影部分的面积=S扇形AOC-S菱形OABC=43π-23.故选C.7.5348.54π-32 [解析]如图,连结B'D,BD,B'B.∵∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B'C',∴C'D=CD=1,B'C'=BC=2,∠CDC'=∠C'=∠B'DB=90°,∴B'D=BD=12+22=5,CD∥B'C',B'C=A'C=12A'B'=2,∴S阴影=S扇形BDB'―S△BDB'+S△B'BC=90π·(5)2360―12×5×5+12×2×2=54π-32.12\n故答案为54π-32.9.12n+1 [解析]连结D1E1.∵AE1∶AC=1∶(n+1),∴S△ABE1∶S△ABC=1∶(n+1),∴S△ABE1=1n+1.∵ABD1E1=BOOE1=n+1n,∴BOBE1=n+12n+1,∴S△ABO∶S△ABE1=(n+1)∶(2n+1),∴S△ABO∶1n+1=(n+1)∶(2n+1),∴S△ABO=12n+1.故答案为12n+1.10.解:(1)证明:作OH⊥AC于点H,如图.∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切线.(2)∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=6.12\n而OE=3,∠AEO=90°,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=3OE=33.∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=12×3×33-60·π·32360=93-3π2.(3)3.提示:作点F关于BC的对称点F',连结EF'交BC于点P,如图.∵PF=PF',∴PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小.∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=33,即PE+PF的最小值为33.在Rt△OPF'中,OP=33OF'=3.在Rt△ABO中,OB=33OA=33×6=23.∴BP=23-3=3,即当PE+PF取最小值时,BP的长为3.11.解:(1)①23②证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠D=∠B,∠A=∠BCD.由折叠可知,AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG,∴BC=GC,∠B=∠G,∠BCD=∠ECG,12\n∴∠BCE=∠GCF,∴△BCE≌△GCF.③如图,过点E作EP⊥BC于点P.∵∠B=60°,∠EPB=90°,∴∠BEP=30°,∴BE=2BP.可设BP=m,则BE=2m,∴EP=BE·sin60°=2m×32=3m.由折叠可知,AE=CE,∵AB=6,∴AE=CE=6-2m.∵BC=4,∴PC=4-m.在Rt△ECP中,由勾股定理,得(4-m)2+(3m)2=(6-2m)2,∴m=54,∴EC=6-2m=6-2×54=72.∵△BCE≌△GCF,∴CF=EC=72,S△CEF=12×72×23=732.(2)124335或43.12
