方法技巧专题(十) 最短距离训练【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为( )图F10-1A.(3,1)B.(3,43)C.(3,53)D.(3,2)2.[2022·宜宾]在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为( )11\n图F10-2A.10B.192C.34D.103.[2022·天津]如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )图F10-3A.BCB.CEC.ADD.AC4.[2022·莱芜]如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是( )图F10-4A.72B.273C.355D.2645.[2022·乌鲁木齐]如图F10-5,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=3x上,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( )11\n图F10-5A.52B.62C.210+22D.826.[2022·泰安]如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( )图F10-6A.3B.4C.6D.87.[2022·滨州]如图F10-7,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是( )图F10-7A.362B.332C.6D.38.[2022·遵义]如图F10-8,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,11\n若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连结DE,DF,则DE+DF的最小值为 . 图F10-89.[2022·黑龙江龙东]如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B作BG⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为 . 图F10-910.[2022·广安改编]如图F10-10,已知抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.图F10-1011\n11.[2022·广州]如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.图F10-1111\n参考答案1.B [解析]如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(32,0),A(3,0),∴H(92,0),可求得直线CH的解析式为y=-89x+4.当x=3时,y=43,∴点E的坐标为(3,43).故选B.2.D [解析]取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最小值为10.故选D.3.B [解析]连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.4.A [解析]如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.∴BF=CF=12BC=3.11\n∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=3BF=33.∴DM=(33)2+12=27.∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.∴MEOB=CMBC=26=13.又∵OB=OD,∴MEOD=13.∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.∴PMPD=MEOD=13,∴PM=14DM=14×27=72.故选A.5.B [解析]∵点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=3x上,∴a=1,b=3,∴A(1,3),B(3,1),则AB=(1-3)2+(3-1)2=8=22.作点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y轴于点D,交x轴于点C,则A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1=(-1-3)2+[3-(-1)]2=32=42,根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是AB+A1B1=22+42=62.故选B.6.C [解析]连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.故选C.11\n7.D [解析]如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2=OP=3,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1Q=32,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最小值为3.故选D.8.322 [解析]因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,所以DE=12PC,DF=12PB,所以DE+DF=12(PC+PB),即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=32,所以DE+DF=12(PC+PB)=322.9.213-2 [解析]由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP.根据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.11\n如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQ⊥AD于Q,则MN=MQ2+NQ2=213,∴MN-GN=213-2,∴PD+PG的最小值为213-2.10.解:(1)∵抛物线y=12x2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴c=3,12×(-3)2-3b+c=0.解得b=52,c=3.∴抛物线的解析式为y=12x2+52x+3.(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得12x2+52x+3=12x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).∵点C(-3,0),∴BC=(-4+3)2+(1-0)2=2,∴|MB-MD|的最大值为2.11.解:(1)如图:11\n(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°.∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠F.∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.在△CED和△BEF中,∠DEC=∠FEB,∠CDE=∠F,CD=BF,∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH11\n中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=AD2-AH2=32=42.∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN',∴BN'DH=ABAD,∴BN'42=46.∴BN'=823.∴BM+MN的最小值为823.11
