方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2022·铜仁]计算12+16+112+120+130+…+19900的值为( )A.1100B.99100C.199D.100992.[2022·嘉兴]欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=a2,则该方程的一个正根是( )图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.[2022·东营]如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )7\n图F5-2A.31+πB.32C.34+π22D.31+π24.[2022·白银]如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2022次输出的结果为 . 图F5-35.[2022·广东]如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为 .(结果保留π) 图F5-46.[2022·淄博]如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为 . 图F5-57.如图F5-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.7\n(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图F5-67\n参考答案1.B [解析]∵12=11×2=1-12,16=12×3=12-13,112=13×4=13-14,120=14×5=14-15,130=15×6=15-16,…,19900=199×100=190-1100,∴12+16+112+120+130+…+19900=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16+…+199-1100=1-1100=99100.故选B.2.B [解析]利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+a22=b2+a24,解得x=b2+a24-a2或x=-b2+a24-a2(舍去).根据勾股定理得AB=b2+a24,由题意知BD=a2.根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根.故选B.3.C [解析]将圆柱沿AB侧面展开,得到矩形,如图,则有AB=3,BC=3π2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=AB2+BC2=32+(3π2) 2=34+π22.故选C.4.1 [解析]当x=625时,代入15x得15x=15×625=125,输出125;当x=125时,代入15x得15x=15×125=25,输出25;当x=25时,代入15x得15x=15×25=5,输出5;当x=5时,代入15x得15x=15×5=1,输出1;当x=1时,代入x+4得x+4=5,输出5;当x=5时,代入15x得15x=15×5=1,输出1;7\n…观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此,第2022次输出的应是1.5.π [解析]连结OE,易证四边形ABEO为正方形,则扇形OED的圆心角为90°,半径为2,因此可求扇形OED的面积,阴影面积看成正方形ABEO的面积+扇形OED的面积-△ABD的面积,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+2534 [解析]如图,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,连结PH,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,易知△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=32,HI=323,∴CI=323+4,∴AC2=322+323+42=25+123,∴S△ABC=34AC2=34(25+123)=9+2534.7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.∵点O为正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形OEFG为正方形,7\n∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD=12OG=12OG',∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O=OAOG'=12,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.②AF'长的最大值是2+22,此时α=315°.理由:当AF'的长最大时,点F'在直线AC上,如图所示.7\n∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=2,AO=OD=22.∴OE'=E'F'=2OD=2.∴OF'=(2)2+(2)2=2.∴AF'=AO+OF'=22+2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.7
