方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.1.[2022·自贡]如图F4-1,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连结OB,OC,则边BC的长为( )图F4-1A.2RB.32RC.22RD.3R2.[2022·遵义]如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为( )图F4-2A.y=-6xB.y=-4x7\nC.y=-2xD.y=2x3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足( )A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>24.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于 . 图F4-35.[2022·扬州]如图F4-4,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= . 图F4-46.[2022·滨州]若关于x,y的二元一次方程组3x-my=5,2x+ny=6的解是x=1,y=2,则关于a,b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5,2(a+b)+n(a-b)=6的解是 . 7.[2022·扬州]问题呈现如图F4-5①,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为 ; 7\n(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图F4-57\n参考答案1.D [解析]如图,延长CO交☉O于点D,连结BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°.在Rt△BCD中,sinD=BCCD=BC2R=sin60°=32,∴BC=3R.故选D.注:此题构造了直角三角形.2.C [解析]如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于BOAO,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以BOAO=tan30°=33,所以S△BNOS△OMA=13.因为点A在双曲线y=6x上,所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.即经过点B的反比例函数的解析式为y=-2x.故选C.7\n注:此题构造了相似三角形.3.D [解析]一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然α<1且β>2.故选D.注:此题构造了二次函数.4.15 [解析]分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.22 [解析]如图,在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=22.故答案为22.注:此题构造了直角三角形.6.a=32,b=-12 [解析]根据题意,对比两个方程组得出方程组a+b=1,a-b=2,所以a=32,b=-12.注:此题构造了一个二元一次方程组.7.[解析](1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;7\n(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10.∵(22)2+(2)2=(10)2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM=DMMN=222=2,∴tan∠CPN=2.(2)如图,取格点D,连结CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos45°=22.(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,7\n∴∠CPN=45°.7
