方法技巧专题(二) 分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,点C不与A,B重合,则∠ACB的度数为( )A.50° B.80°或50°C.130° D.50°或130°2.[2022·山西权威预测]已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程2x-y=3,3x+2y=8,则此等腰三角形的周长为( )A.5B.4C.3D.5或43.[2022·枣庄]如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P有( )图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.[2022·鄂州]如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1cm/s,6\n同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是( )图F2-2图F2-35.[2022·聊城]如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 . 6.[2022·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为 . 7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=kx图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 . 图F2-48.[2022·齐齐哈尔]如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 . 6\n图F2-59.[2022·义乌]如图F2-6,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是 . 图F2-66\n参考答案1.D2.A [解析]解方程组得x=2,y=1,当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B [解析]如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为2∶1的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A [解析]由题意可知,0≤t≤4,当0≤t<2时,如下图,S=12BP·CQ=12t·2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=12BP·CQ=12×2×4=4;当2<t≤6时,如下图,点Q在AD上运动,S=12BP·CD=12t·4=2t.故选A.5.180°或360°或540° [解析]如图,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形:6\n∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.6.3或65 [解析]由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC=3.(2)如图,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=15CD=65.综上所述,PE的长为3或65.7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或413或273 [解析]在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=12BC=12×12=6,∴AD=102-62=8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是82+122=413.6\n(3)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是62+162=273.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或413或273.9.x=0或x=42-4或4<x<42 [解析]根据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分线,该线与射线OB始终有一个公共点,分别以点M,N为圆心,4为半径画圆,观察两圆与射线OB的交点情况:(1)当☉N与射线OB没有公共点,☉M与射线OB有两个公共点时,满足题意,如图①,此时4<x<42.(2)当☉N与射线OB相切,只有一个公共点时,☉M与射线OB也只有一个公共点时,也满足题意,如图②,此时x=42-4;(3)当☉N与射线OB有两个公共点时,此时☉M与射线OB只有一个公共点,因此当☉N与射线OB有两个公共点时,必须出现不能与点M,N构成三角形的一个点,也能满足题意,如图③,此时x=0.6
