方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2022·乐山]如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=6x(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于( )图F9-1A.6B.6C.3D.122.[2022·宿迁]如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=2x(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=1kx(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是 . 图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为 . 13\n图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.13\n(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.13\n图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=12x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,72).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-713\n8.[2022·莱芜]如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-813\n参考答案1.B [解析]如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',∵曲线C2是双曲线C1:y=6x(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=6x上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=12|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2 [解析]如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.13\n设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为2a.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴2a=ka,k=2a2.∴OB所在直线的解析式为y=a22x.令a22x=2x,得x=2a,此时y=a.∴点B的坐标为(2a,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=2.又∵BP'=DP=10,BP=22,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.13\n(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB=AE2+BE2=13,则BC=13.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴AEAB=ABAQ,即313=13AQ,∴AQ=133,∴BQ=AQ2-AB2=2133,∴CQ=BC-BQ=133.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴a-b-4a=0,-4a=4,解得a=-1,b=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.13\n∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=322.∵OB=OC=4,∴BC=42,∴BE=BC-CE=522,∴tan∠PBF=tan∠CBD=DEBE=35.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,13\n∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=2225,∴P(-25,6625).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴AMAB=AFAE=13.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM=AMAB=13.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,x2-2x-2x=13,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-23(舍去),x2=3,13\n∴点P的坐标为(3,1).②点P在x轴下方时,-(x2-2x-2)x=13,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=5-976(舍去),x2=5+976.当x=5+976时,y=x2-2x-2=-5+9718,∴点P的坐标为(5+976,-5+9718).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(5+976,-5+9718).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,72),可得-0+0+c=2,-9+3b+c=72,解得c=2,b=72,故抛物线的解析式为y=-x2+72x+2.(2)设P(m,-m2+72m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴PMMF=CNFN=m12m=2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=5FM=5CF=5×52CN=52CN=52m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=52m.13\n解得m1=12,m2=0(舍去),∴P(12,72).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(236,1318).8.[解析](1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM⊥x轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得a-b+c=0,16a+4b+c=0,c=3,解得a=-34,b=94,c=3.∴y=-34x2+94x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有4k+m=0,m=3,解得k=-34,m=3,∴y=-34x+3.设D(n,-34n2+94n+3)(0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-34n+3).∴DM=(-34n2+94n+3)-(-34n+3)=-34n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴DEDM=OBBC.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=45DM.13\n∴DE=-35n2+125n=-35(n-2)2+125.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是125.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO=OCOF=2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE=BGCB=OCOF=2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴GHBO=HBOC=GBBC,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴t=3,10k+t=8,解得k=12,t=3,∴y=12x+3.依题意,得y=12x+3,y=-34x2+94x+3,解得x=73或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=52,GH=2,BH=32,∴G(112,2).同理可得直线CG的解析式为y=-211x+3.依题意,得y=-211x+3,y=-34x2+94x+3,解得x=10733或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为73或10733.13
