中考数学复习方法技巧：转化思想训练（含答案）

中考数学复习方法技巧：转化思想训练（含答案）方法技巧专题五　转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．一、选择题1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　　)A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为(　　)A．M＜NB．M＝NC．M＞ND．不能确定3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(　　)A．140mB．150m　C．160mD．240m图F5－1　　　4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(　　)图F5－2A．1或9B．3或5C．4或6D．3或6二、填空题5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x,后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．图F5－36．[2016·达州]如图F5－4，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为________．图F5－4　　　7．[2016·宿迁]如图F5－5，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．图F5－5三、解答题8．如图F5－6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果，不必说明理由．图F5－6,参考答案1．A2．A　[解析]∵N－M＝a2－a－(a－1)＝a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，∴M＜N.故选A.注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．3．B　[解析]∵多边形的外角和为360°，这里每一个外角都为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15.∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.注：把问题转化为正多边形的周长．4．D　[解析]如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6.故选D.注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．5．x＜8　[解析]由题意，得3x－6<18，解得x＜8.6．24＋9　[解析]如图，连结PQ，则△APQ为等边三角形．∴PQ＝AP＝6.易知△APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9.故答案为24＋9.注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．7．4或2　[解析]设AD的中点为P1，无论AB多长，△P1BC都是等腰三角形，即点P1始终是符合条件的一个点．(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，此时AB＝BC＝4；(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P1时，符合条件的点也有3个．此时BP1＝BC＝4，AB＝2.综上所述，BA的长为4或2.,注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵O为正方形ABCD对角线的交点，∴OA＝OD，∠AOG＝∠DOE＝90°，∵四边形OEFG为正方形，∴OG＝OE，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°.∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝＝，∴∠AG′O＝30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°，所以α＝180°－30°＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°.,②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC上，如图所示．∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，∴AC＝BD＝，AO＝OD＝.∴OE′＝E′F′＝2OD＝.∴OF′＝＝2.∴AF′＝AO＋OF′＝＋2.∵∠DOG′＝45°，∴旋转角α＝360°－45°＝315°.