整式运算与因式分解03整式运算与因式分解限时:30分钟夯实基础1.[2022·荆州]下列代数式中,整式为( )A.x+1B.1x+1C.x2+1D.x+1x2.[2022·永州]下列运算正确的是( )A.m2+2m3=3m5B.m2·m3=m6C.(-m)3=-m3D.(mn)3=mn33.[2022·安徽]下列分解因式正确的是( )A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)4.[2022·武汉]计算(a-2)(a+3)的结果是( )A.a2-6B.a2+a-6C.a2+6D.a2-a+65.[2022·威海]已知5x=3,5y=2,则52x-3y等于( )8\nA.34B.1C.23D.986.[2022·河北]若a,b互为相反数,则a2-b2= . 7.[2022·威海]分解因式:-12a2+2a-2= . 8.[2022·雅安]有一列数:12,1,54,75,…,依照此规律,则第n个数表示为 . 9.[2022·衡阳]先化简,再求值:(x+2)(x-2)+x(1-x),其中x=-1.能力提升10.[2022·齐齐哈尔]我们知道,用字母表示的代数式是具有一般意义的.请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中,不正确的是( )A.若葡萄的价格是3元/千克,则3a表示买a千克葡萄的金额B.若a表示一个等边三角形的边长,则3a表示这个等边三角形的周长C.将一个小木块放在水平桌面上,若3表示小木块与桌面的接触面积,a表示桌面受到的压强,则3a表示小木块对桌面的压力D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则3a表示这个两位数11.[2022·眉山]下列计算正确的是( )A.(x+y)2=x2+y2B.-12xy23=-16x3y6C.x6÷x3=x2D.(-2)2=212.[2022·枣庄]如图K3-1,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为( )8\n图K3-1A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b13.[2022·黄冈]若a-1a=6,则a2+1a2的值为 . 14.[2022·娄底]设a1,a2,a3,…,an是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表示第n个数(n是正整数).已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,则a2022= . 15.[2022·吉林]某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+2ab-a2-b2(第二步)=2ab-b2.(第三步)(1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误原因是 ; (2)写出此题正确的解答过程.8\n16.[2022·衢州]有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图K3-2所示的三种方案.小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2.对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三写出公式的验证过程.图K3-28\n17.[2022·河北]如图K3-3,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少;(2)求第5个台阶上的数x是多少.应用 求从下到上前31个台阶上的数的和.发现 试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.图K3-3拓展练习18.[2022·重庆A卷]对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”,并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=m33,求满足D(m)是完全平方数的所有m.8\n参考答案1.A2.C3.C [解析]A.-x2+4x=-x(x-4),故此选项错误;B.x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项正确;D.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误.故选C.4.B 5.D6.07.-12(a-2)28.2n-1n+1 [解析]这列数可以写为12,33,54,75,…,因此,分母为从2开始的连续正整数,分子为从1开始的连续奇数,故第n个数为2n-1n+1.9.解:原式=x2-4+x-x2=x-4.当x=-1时,原式=-1-4=-5.8\n10.D11.D12.A [解析]如图,将下面的矩形移至原图形的左上方,拼成如图所示的矩形,此时矩形的长为3a+2b,宽为3a-2b,故选A.13.8 [解析]原式=a2+1a2-2·a·1a+2·a·1a=a-1a2+2=(6)2+2=8.14.4035 [解析]由4an=(an+1-1)2-(an-1)2,得(an+1-1)2=(an+1)2.因为an为正整数,所以an+1-1=an+1,即an+1=an+2.所以a2022=a2022+2=a2022+2×2=…=a1+2022×2=4035.15.解:(1)二 去括号时没有变号(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.16.解:方案二:a2+ab+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;方案三:a2+12b(a+a+b)×2=a2+2ab+b2=(a+b)2.17.解:尝试 (1)-5-2+1+9=3.(2)根据题意,得-2+1+9+x=3,解得x=-5.应用 由题意知台阶上的数每4个一循环,因为31÷4=7……3,∴前31个数的和为7×3+(-5-2+1)=15.发现 ∵“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3,第7,第11等,且3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,…,∴“1”所在的台阶数为4k-1.18.解:(1)答案不唯一,如5346,1782,9405等.任意一个“极数”都是99的倍数,理由如下:设n的千位数字为s,百位数字为t(1≤s≤9,0≤t≤9且s,t均为整数),则n=1000s+100t+10(9-s)+9-t=990s+99t+99=99(10s+t+1).而10s+t+1是整数,故n是99的倍数.8\n(2)由(1)设m=1000s+100t+10(9-s)+9-t=990s+99t+99=99(10s+t+1),其中1≤s≤9,0≤t≤9,且s,t均为整数,从而D(m)=m33=3(10s+t+1).而D(m)是完全平方数,故3(10s+t+1)是完全平方数.∵11≤10s+t+1≤100,∴10s+t+1=3×22,3×32,3×42,3×52.∴(s,t)=(1,1),(2,6),(4,7),(7,4).∴m=1188,2673,4752,7425.8
