课时训练23相似三角形限时：30分钟夯实基础1．[2022·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2．5cm，则它的最长边为( )A．3cmB．4cmC．4．5cmD．5cm2．[2022·河北]若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比( )A．增加了10%B．减少了10%C．增加了(1＋10%)D．没有改变3．[2022·自贡]如图K23－1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( )图K23－1A．8B．12C．14D．164．如图K23－2，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；④S△DOES△ADE＝13．其中正确的个数有( )图K23－2A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图K23－3，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG11\n＝( )图K23－3A．1∶3B．3∶1C．1∶9D．9∶16．已知c4＝b5＝a6≠0，则b＋ca的值为 ． 7．[2022·长春]如图K23－4，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为 ． 图K23－48．[2022·巴中]如图K23－5，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为 ． 图K23－59．[2022·江西]如图K23－6，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E．求AE的长．11\n图K23－610．如图K23－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长线交AB于H．(1)求证：△CAG∽△ABC；(2)求S△AGH∶S△ABC的值．图K23－711\n能力提升11．[2022·泸州]如图K23－8，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则AGGF的值是( )图K23－8A．43B．54C．65D．7612．[2022·包头]如图K23－9，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；11\n③DE2＝2CF·CA；④若AB＝32，AD＝2BD，则AF＝53．其中正确的结论是 ．(填写所有正确结论的序号) 图K23－913．[2022·镇江]如图K23－10，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD'E'，点D的对应点落在边BC上，已知BE'＝5，D'C＝4，则BC的长为 ． 图K23－10拓展练习14．[2022·攀枝花]如图K23－11，D是等边三角形ABC的边AB上的点，AD＝2，BD＝4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝ ． 图K23－1111\n15．[2022·黄石]在△ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)．(1)如图K23－12①，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC．(2)如图②，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．(3)如图③，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB＝34，求S△AEFS△ABC的值．图K23－1211\n参考答案1．C 2．D3．D [解析]∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴ADAB＝AEAC＝12，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∴面积比为1∶4，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16，故选D．4．C5．C [解析]∵E，F为CD边的两个三等分点，∴EF＝13CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴EF＝13AB，△EFG∽△BAG，∴S△EFG∶S△ABG＝EFBA2＝19．故选C．6．327．6 [解析]由平行线分线段成比例定理可得，ABBC＝DEEF，∴12＝3EF，∴EF＝6．8．60 [解析]根据题意可得，△AEF≌△BEC，∴AF＝BC＝10．设DF＝x．易知△ADC∽△BDF，∴ADBD＝DCDF，11\n∴10＋x6＝4x．整理得x2＋10x－24＝0，解得x＝2或－12(舍去)，∴AD＝AF＋DF＝12，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×10×12＝60．故答案为60．9．解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠D，∴BC＝CD＝4．又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴ABCD＝AECE，∴AECE＝84＝2，∴AE＝2EC，解得EC＝12AE，∵AC＝AE＋EC＝6，∴AE＋12AE＝6，解得AE＝4．10．解：(1)证明：∵点G是△ABC的重心，∴CH为AB边上的中线．∵∠ACB＝90°，∴CH＝12AB＝AH，∴∠ACG＝∠CAB．∵∠ACB＝∠AGC＝90°，∴△CAG∽△ABC．(2)∵点G是△ABC的重心，∴CG＝2HG，∴HG＝13CH，∴S△AHG＝13S△ACH．∵CH为AB边上的中线，∴S△ACH＝12S△ABC，∴S△AHG＝13×12S△ABC＝16S△ABC，∴S△AGH∶S△ABC＝1∶6．11．C [解析]因为正方形ABCD中，AE＝3ED，DF＝CF，所以设边长为4a，则AE＝3a，ED＝a，DF＝CF＝2a，延长BE，CD交于点M，易得△ABE∽△DME，可得MD＝43a，因为△ABG∽△FMG，AB＝4a，MF＝103a，所以AGGF＝ABMF＝65．11\n12．①②③ [解析]由题意易得∠BCD＝∠ACE，由“边角边”证明△ACE≌△BCD，故①正确;∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD＝45°．∵∠BCD＝25°，∴∠ACE＝∠BCD＝25°，∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝(180°－25°－45°)－45°＝65°，故②正确;∵∠CAE＝∠CED＝45°，∠ACE＝∠ACE，∴△ACE∽△ECF，∴ACEC＝ECFC，即EC2＝AC·FC，在Rt△DCE中，DE2＝2CE2＝2FC·AC，故③正确;作DM⊥BC于点M，∵AB＝32，AD＝2BD，∴BD＝2，AC＝BC＝3，∴DM＝BM＝1，∴CM＝3－1＝2，∴DC＝CE＝5，由③可知DE2＝2CE2＝2CF·CA，∴2×(5)2＝2×3×FC，∴FC＝53，∴AF＝3-53＝43，故④错误．13．2＋34 [解析]①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有BDBA＝BEBC;②由题意可得BE＝BE'＝5，BD＝BD'＝BC－D'C＝BC－4，AB＝6．设BC＝x，由①②可列方程：x－46＝5x，解得x＝2＋34(2-34舍去)，故BC的长为2＋34．14．54 [解析]由题易知∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∴∠AED＝∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴EDDF＝AE＋ED＋ADDF＋BF＋DB．由翻折易知EC＝ED，FC＝FD，∴CFEC＝BC＋BDAC＋AD，∴CFEC＝54．11\n15．解：(1)证明：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AEAB＝AFAC，∴S△AEFS△ABC＝AE2AB2＝AE·AFAB·AC．(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立．理由：分别过点F，C作AB的垂线，垂足为N，H．∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴FNCH＝AFAC，∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CH＝AE·FNAB·CH＝AE·AFAB·AC．(3)连接AG并延长交BC于M，连接BG并延长交AC于N，连接MN．则M，N分别为BC，AC的中点，∴MN∥AB且MN＝12AB，∴CNCA＝NMAB＝12，S△ABM＝S△ACM，AGAM＝23．设AFAC＝a．由(2)可知：S△AEGS△ABM＝AE·AGAB·AM＝34×23＝12，S△AFGS△ACM＝AG·AFAM·AC＝23a，则S△AEFS△ABC＝S△AEG＋S△AFG2S△ACM，S△AEG2S△ABM＋S△AFG2S△ACM＝14＋13a．而S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC＝34a．∴14＋13a＝34a，解得：a＝35．11\n∴S△AEFS△ABC＝34×35＝920．11
