课时训练(十八) 相似三角形及其应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.如图K18-1,添加一个条件: ,使得△ADE∽△ACB(写出一个即可). 图K18-12.如图K18-2,在△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为 . 图K18-23.[2022·连云港]如图K18-3,△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为 . 11\n图K18-34.[2022·成都]已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6.则a的值为 . 5.[2022·岳阳]如图K18-4,《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步. 图K18-46.[2022·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为( )A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm7.如图K18-5,已知直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F,若ABBC=12,则DEEF=( )图K18-5A.13B.12C.23D.18.[2022·内江]已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶911\n9.如图K18-6,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4,则DC的长等于( )图K18-6A.154B.125C.203D.17410.[2022·成都]如图K18-7,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为( )图K18-7A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.2∶311.如图K18-8,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D到了点F的位置,则S△ADE∶S▱BCFD的值是( )图K18-8A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶112.[2022·绍兴]学校门口的栏杆如图K18-9所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD11\n,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )图K18-9A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m13.[2022·江西]如图K18-10,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图K18-1014.[2022·杭州]如图K18-11,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.11\n图K18-1115.[2022·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图K18-12所示.11\n请根据相关测量信息,求河宽AB.图K18-12|拓展提升|16.如图K18-13,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=2.其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个11\n图K18-1311\n参考答案1.答案不唯一,如∠ADE=∠C或ADAC=AEAB等2.5 3.1∶94.12 [解析]设a6=b5=c4=k,则a=6k,b=5k,c=4k,∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,3k=6,解得k=2,∴a=6k=12.5.6017 [解析]如图①,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.设ED=x,则CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴DEBC=ADAC,∴x5=12-x12,∴x=6017.如图②,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=y,S△ABC=12AC·BC=12AB·CP,则12×5=13CP,CP=6013,同理得:△CDG∽△CAB,∴DGAB=CQCP,∴y13=6013-y6013,y=780229<6017,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017步,故答案为:6017.6.C 7.B 8.D 9.A10.A [解析]由位似的性质得,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的位似比为2∶3,所以四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为4∶9.11.A12.C [解析]由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似三角形的性质可得AOCO=ABCD,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴41=1.6CD,∴CD=1.6×1÷4=0.4(m),故选C.11\n13.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC,又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴ABCD=AECE,∴AECE=84=2,∴AE=2EC,解得EC=12AE,∵AC=AE+EC=6,∴AE+12AE=6,解得AE=4.14.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,AD⊥BC.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC=10,∴BD=12BC=5.在Rt△ABD中,有AD2+BD2=AB2,∴AD=132-52=12.11\n∵△BDE∽△CAD,∴BDCA=DEAD,即513=DE12,∴DE=6013.15.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°,∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴BCED=ABAD.∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m,∴AD=AB+8.5,∴11.5=ABAB+8.5.解得:AB=17.∴河宽AB的长为17m.16.B [解析]过D作DM∥BE交AC于N,交BC于M.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确;∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,11\n∴AEBC=AFCF,∵AE=12AD=12BC,∴AFCF=12,∴CF=2AF,故②正确;∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=12BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确;设AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,得ba=a2b.即a2=2b2,a=2b.∴tan∠CAD=ba=22≠2,故④错误.故选B.11
