课时训练(二十一) 相似三角形及其应用|夯实基础|1.[2022·兰州]已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是( )A.xy=32B.x3=2yC.xy=23D.x2=y32.如图21-9,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若ABBC=12,则DEEF等于( )图21-9A.13B.12C.23D.13.[2022·昆区一模]如图21-10,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则DEEF的值为( )图21-10A.12B.214\nC.25D.354.[2022·杭州]如图21-11,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则( )图21-11A.ADAB=12B.AEEC=12C.ADEC=12D.DEBC=125.若△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶166.[2022·重庆A卷]若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则其对应高的比为( )A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶97.[2022·包头]如图21-12,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则CFBF的值为( )图21-12A.12B.13C.14D.238.[2022·包头样题三]如图21-13,在△ACD中,BE∥CD,AB∶BC=2∶3,则S△ABE∶S△CED=( )14\n图21-13A.2∶3B.4∶15C.4∶21D.4∶179.如图21-14,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m.则建筑物CD的高是( )图21-14A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m10.[2022·绍兴]学校门口的栏杆如图21-15所示,栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC的位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )图21-15A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m11.[2022·十堰]如图21-16,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C',已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积比为( )14\n图21-16A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶912.[2022·泸州]如图21-17,在正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是( )图21-17A.43B.54C.65D.7613.[2022·宜宾]如图21-18,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于( )图21-18A.2B.3C.23D.3214.如图21-19,AD是△ABC的中线,CF交AD于点E,交AB于点F.若AE∶ED=3∶1,则AF∶BF等于( )14\n图21-19A.3∶1B.3∶2C.5∶2D.2∶115.已知xy=13,则x-yy的值为 . 16.已知2m-nn=13,则mn= . 17.[2022·成都]已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a的值为 . 18.已知a3=b4=c5(a,b,c均不为0),则(1)a+bc= ;(2)若a+b-c=4,则a= ,b= ,c= . 19.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 . 20.如图21-20,点G为△ABC的重心,AG=4,则中线AD的长为 . 图21-2021.如图21-21,在▱ABCD中,点E在DC上,若DE∶EC=1∶2,则BF∶BE= . 图21-2122.[2022·天水]如图21-22所示,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明在距离路灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM的长为 米. 14\n图21-2223.[2022·岳阳]如图21-23,《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步. 图21-2324.如图21-24,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,且AD=BD,则BD∶CD= ,S△ABD∶S△ADC= . 图21-2425.[2022·南充]如图21-25,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= . 图21-2526.[2022·杭州]如图21-26,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.14\n图21-2627.[2022·杭州]如图21-27,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于 . 图21-2728.[2022·宿迁]如图21-28,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.14\n图21-28|拓展提升|29.[2022·包头]如图21-29,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为( )图21-29A.253B.233C.343D.45314\n30.[2022·包头样题三]如图21-30,在△ABC中,AB=AC=10,D是边BC上任意一点(不与点B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=45,下列结论:①△ADE∽△ACD;②当△DCE为直角三角形时,BD的长为8或252;③当BD=6时,△ABD与△DEC全等.其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 图21-3031.[2022·宜宾]如图21-31,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内的点F处,下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号). ①当E为线段AB中点时,AF∥CE;②当E为线段AB中点时,AF=95;③当A,F,C三点共线时,AE=13-2133;④当A,F,C三点共线时,△CEF≌△AEF.图21-3114\n参考答案1.A 2.B 3.D4.B [解析]∵点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∴ADBD=AEEC.∵BD=2AD,故AEEC=ADBD=12.故选B.5.C6.A [解析]因为△ABC∽△DEF,所以根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得答案.故选A.7.A 8.B9.B [解析]由题意知BE∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴BECD=ABAC,即1.2CD=1.61.6+12.4,解得CD=10.5(m).故选B.10.C [解析]由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似三角形的性质可得AOCO=ABCD,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴41=1.6CD,∴CD=1.6×1÷4=0.4(m).故选C.11.D12.C [解析]因为在正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设正方形ABCD的边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a,如图,延长BE,CD交于点M,易得△ABE∽△DME,可得MD=43a.因为△ABG∽△FMG,AB=4a,MF=103a,所以AGGF=ABMF=65.13.A [解析]如图,∵S△ABC=9,S△A'EF=4,且AD为BC边的中线,∴S△A'DE=12S△A'EF=2,S△ABD=12S△ABC=92.14\n∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C',∴A'E∥AB,∴△DA'E∽△DAB,∴(A'DAD)2=S△A'DES△ABD,即(A'DA'D+1)2=292,解得A'D=2或A'D=-25(舍去).故选A.14.B15.-2316.2317.12 [解析]设a6=b5=c4=k,则a=6k,b=5k,c=4k,∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,∴3k=6,解得k=2,∴a=6k=12.18.(1)75 (2)6 8 10 19.2∶3 20.621.3∶522.5 [解析]设AM=x米,根据三角形相似,有xx+20=1.68,解得x=5.23.6017 [解析]如图.设该直角三角形能容纳的正方形边长最大为x步,则AD=(12-x)步,FC=(5-x)步,根据题意易得△ADE∽△EFC,14\n∴ADEF=DEFC,∴12-xx=x5-x,解得x=6017.故答案为6017.24.1∶2 1∶225.23 [解析]∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴ADAB=DEBC,即13=DE4,解得DE=43.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC.又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F,∴∠ABF=∠F,∴DF=BD=2.∵DF=DE+EF,∴EF=2-43=23.故答案为:23.26.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,AD⊥BC.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC=10,∴BD=12BC=5.在Rt△ABD中,有AD2+BD2=AB2,∴AD=132-52=12.∵△BDE∽△CAD,∴BDCA=DEAD,即513=DE12,∴DE=6013.27.78 [解析]在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC于点E,∴∠BAC=∠CED=90°,∴△CDE∽△CBA,∴CECA=CDCB=20-525,故CE=12,∴BE=25-12=13,∴△ABE的面积△ABC的面积=1325.∵△ABC的面积为150,∴△ABE的面积=1325×150=78.故填78.28.[解析](1)根据两角相等,两三角形相似得证,(2)证明△EDF∽△CEF得∠CFE=∠EFD.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.14\n∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.(2)由(1)得:BECF=DEEF,∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴CECF=DEEF,即CEDE=CFEF.又∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.29.D [解析]如图,连接DE.∵∠BDC=90°,E为BC的中点,∴DE=BE=12BC=2,∴∠EDB=∠CBD=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=30°,∴∠ABD=∠EDB,∴AB∥DE,∴△DEF∽△BAF,∴DEAB=DFBF,易求得BD=23,AB=3,∴DFBF=DEAB=23,∴DF=25BD=25×23=453.故选D.14\n30.①②③31.①②③ [解析]由折叠的性质可知CF=CB,∠CFE=90°,∠CEB=∠CEF.∵E为AB的中点,∴BE=EF=AE=32,∴∠FAE=∠AFE.∵∠FEB=∠FAE+∠AFE,∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF∥CE,故①正确;∵BE=32,BC=2,∴CE=52.过点E作EM⊥AF,垂足为M,∵∠AFE=∠FEC,EM⊥AF,∠CFE=90°,∴△MFE∽△FEC,∴MFEF=EFEC,即MF32=3252,∴MF=910,∴AF=95,故②正确;∵A,F,C三点共线,∴∠AFE=90°,AC=22+32=13.设BE=x,则EF=x,AE=3-x,AF=13-2,在Rt△AFE中,(13-2)2+x2=(3-x)2,解得x=213-43,∴AE=3-x=13-2133,故③正确;∵AF=13-2,CF=2,∴AF≠CF,∴④错误.14
