课时训练(二十一) 相似三角形及其应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·乐山]如图K21-1,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是( )图K21-1A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=52GCD.EG=2GC2.[2022·连云港]如图K21-2,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是( )图K21-211\nA.BCDF=12B.∠A的度数∠D的度数=12C.△ABC的面积△DEF的面积=12D.△ABC的周长△DEF的周长=123.[2022·枣庄]如图K21-3,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K21-3图K21-44.如图K21-5,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )图K21-5A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.ADAB=ABBC5.[2022·绍兴]学校门口的栏杆如图K21-6所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD11\n,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m图K21-6 6.[2022·毕节]如图K21-7,在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE∶EC=3∶2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为( )图K21-7A.2∶5B.3∶5C.9∶25D.4∶257.[2022·永州]如图K21-8,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为( )图K21-8A.2B.4C.6D.88.[2022·南充]如图K21-9,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= . 11\n图K21-99.[2022·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步. 图K21-1010.[2022·菏泽]如图K21-11,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 . 图K21-1111.[2022·上海]如图K21-12,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是 . 图K21-1212.如图K21-13,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.11\n图K21-13(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.13.如图K21-14,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)求证:OA2=OE·OF.图K21-1411\n|拓展提升|14.如图K21-15,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交☉O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB∶PC=1∶2.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由.图K21-1511\n11\n参考答案1.B [解析]∵DE∥FG∥BC,∴DBBF=ECCG,又∵DB=4FB,∴DBBF=ECCG=41,∴EC=4CG,∴EG=3GC,故选择B.2.D [解析]根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2,因此D选项正确.3.C [解析]A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;C.两三角形的对应边成比例,但夹角不相等,故两三角形不相似;D.两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.故选C.4.D [解析]在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当ADAB=ABAC时,才能使△ADB∽△ABC,不是ADAB=ABBC.故选D.5.C [解析]由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似三角形的性质可得AOCO=ABCD,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴41=1.6CD,CD=1.6×1÷4=0.4(m),故选C.6.C [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,且AB=CD,∴∠EDF=∠ABF,∠DEF=∠BAF,∴△DEF∽△BAF,又∵DE∶EC=3∶2,∴DEAB=35,∴S△DEFS△BAF=352=925,故选C.7.B [解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4.因此本题选B.8.23 [解析]∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴ADAB=DEBC,即13=DE4,解得:DE=43.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F,∴∠ABF=∠F,∴BD=DF=2,∵DF=DE+EF,∴EF=2-43=23.故答案为:23.9.6017 [解析]如图①,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.设ED=x,则CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,11\n∴DEBC=ADAC,∴x5=12-x12,∴x=6017.如图②,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=y,S△ABC=12AC·BC=12AB·CP,则12×5=13CP,CP=6013,同理得:△CDG∽△CAB,∴DGAB=CQCP,∴y13=6013-y6013,y=780229<6017,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017步,故答案为:6017.10.(2,23) [解析]如图,作AE⊥x轴于E,∵∠OCD=90°,∠AOB=60°,∴∠ABO=∠OAE=30°.∵点B的坐标是(6,0),∴AO=12OB=3,∴OE=12OA=32,∴AE=OA2-OE2=32-(32) 2=332,∴A32,332.∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∴点C的坐标为32×43,332×43,即(2,23).11.127 [解析]作AH⊥BC于点H,交GF于点I,设正方形DEFG的边长是x.因为△ABC的面积是6,所以12×BC×AH=6,又因为BC=4,所以AH=3,AI=3-x,在正方形DEFG中,GF∥BC,所以GFBC=AIAH,3-x3=x4,解得x=127,所以正方形的边长是127.12.解:(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,11\n∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°,∴ADBD=1,∴AD=BD,∵△ACD∽△BFD,∴ACBF=ADBD=1,∴BF=AC=3.13.证明:(1)∵EC∥AB,∴∠C=∠ABF.∵∠EDA=∠ABF,∴∠C=∠EDA.∴DA∥CF.又∵EC∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)∵DA∥CF,∴OAOF=ODOB.∵EC∥AB,∴OEOA=ODOB.∴OAOF=OEOA,即OA2=OE·OF.14.解:(1)证明:如图,连接OC.11\n∵PE是☉O的切线,∴OC⊥PE,∵AE⊥PE,∴OC∥AE,∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠BAD.(2)线段PB,AB之间的数量关系为AB=3PB.理由:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC,∵∠PCB+∠OCB=90°,∴∠PCB=∠PAC,又∵∠P是公共角,∴△PCB∽△PAC,∴PCPA=PBPC,∴PC2=PB·PA,∵PB∶PC=1∶2,∴PC=2PB,∴PA=4PB,∴AB=3PB.11
