2023届高考数学易错题专练--11函数模型的应用（Word版附解析）

易错点11函数模型的应用一、单选题1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2019年5月1日12350002019年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升2.某工厂6年来生产甲产品的情况是：前3年年产量增加的速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系图象是（）A.B.C.D.3.声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinwt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asinwt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个1音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是y=sinx+sin2x+211sin3x+sin4x+⋯.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（）341111A.函数y=sinx+sin2x+sin3x+sin4x+⋯+sin100x不具有奇偶性；234100111ππB.函数f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x在区间−,上单调递增；2341616\n111C.若某声音甲对应函数近似为f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x，则声音甲的响2341度一定比纯音h(x)=sin2x响度大；21D.若某声音甲对应函数近似为g(x)=sinx+sin2x，则声音甲一定比纯音h(x)=21sin3x更低沉．34.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：∘C)满足函数关系y=ekx+b(e∘为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0°C的保鲜时间是192h，在22C的保鲜时间是48h，则该食品在33°C的保鲜时间是（）A.16hB.20hC.24hD.26h5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年π26.设函数f(x)=cos(2−πx)+(x+e)的最大值为M，最小值为N，则(M+N−1)2020的值为x2+e2（）A.1B.2C.22020D.320207.洪泽湖是中国大湖中唯一的活水湖，水质优良，有利于优质大闸蟹生产，大闸蟹的背面有字母“H”的形状，是洪泽湖天然的“地理标志”.洪泽湖大闸蟹具有个大、蟹肥、肉香的特质.泗洪县是洪泽湖大闸蟹的主产区，今年又喜获丰收.泗洪中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某大闸蟹生产销售合作社为了实现100万元的利润目标，准备制定激励其销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20％.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）(参考数据：1.015100≈4.432,lg11≈1.041)A.y=0.04xB.y=1.015x−1xC.y=tan(19−1)D.y=log11(3x−10)\n二、单空题8.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用______年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走的路程最短，小船应朝与水流方向成__________度角的方向行驶．10.某歌碟出租店有两种租碟方式：一种是用会员卡租碟，办会员卡每月10元，租碟每张6角；另一种是不用会员卡租碟每张1元．若小强经常来此店租碟，当每月租碟至少_______张时，用会员卡租碟更合算．11.将(a+b+c)8展开且合并同类项后，展开式的项数为________．三、解答题12.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．\n13.湖北省第二届(荆州)园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(万元)与年产量x(万台)满足如180−2x,0<x≤20下关系式：G(x)=20009000．70+−,x>20xx(x+1)(Ⅰ)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入−成本)(Ⅱ)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．\n14.改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，如表为2012年−2015年我国卫生总费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比．个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出卫生总费用占卫生总占卫生总占卫生总年份绝对数(亿绝对数(亿绝对数(亿(亿元)费用比重费用比重费用比重元)元)元)(%)(%)(%)201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45(数据来源于国家统计年鉴)(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：357876.6053(2)设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f(t)=1+e6.4420−0.1136t研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．15.“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利\n润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：x234568911y12334568(1)请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系(当|r|>0.8时，说明y与x之间具有线性相关关系)；(2)根据(1)的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当x=24时，对应的利润y为多少(b,a,y精确到0.1)．附参考公式：回归方程中y=bx+a中b和a最小二乘估计分别为nnxi=1xiyi−nxyb=i=1iyi−nxyx，相关系数r=nx2−nx2，a=y−bn(x2n(y2i=1ii=1i−x)i=1i−y)参考数据：8xy=241，8x2=356，8(x−x)2≈8.25，8(y−y)2=6i=1iii=1ii=1ii=1i一、单选题1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2019年5月1日12350002019年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升【答案】B【解析】因为第一次(即2019年5月1日)把油加满，\n而第二次(即2019年5月15日)把油加满加了48升，即汽车耗油48升行驶35600−35000=600(千米)，所以每100千米的耗油量为8升，故选B．2.某工厂6年来生产甲产品的情况是：前3年年产量增加的速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：前3年年产量的增长速度越来越快，函数为增函数，且图象走势越来越陡峭；后3年年产量保持不变，函数图象为递增线段．故选A．3.声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinwt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asinwt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个1音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是y=sinx+sin2x+211sin3x+sin4x+⋯.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（）341111A.函数y=sinx+sin2x+sin3x+sin4x+⋯+sin100x不具有奇偶性；234100111ππB.函数f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x在区间−,上单调递增；2341616111C.若某声音甲对应函数近似为f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x，则声音甲的响234\n1度一定比纯音h(x)=sin2x响度大；21D.若某声音甲对应函数近似为g(x)=sinx+sin2x，则声音甲一定比纯音h(x)=21sin3x更低沉．3【答案】A1111【解析】解：A.f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x+⋯+sin100x，234100则f(x)的定义域为R，1111又f(−x)=sin(−x)+sin(−2x)+sin(−3x)+sin(−4x)+⋯+sin(−100x)=−234100f(x)，即f(x)为奇函数，故A错误;ππππ3π3πππB.x∈[−,]时，2x∈[−,]，3x∈[−,]，4x∈[−,]，161688161644ππ故sinx，sin2x，sin3x，sin4x在[−,]上均为增函数，1616111ππ故f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x在区间[−,]上单调递增，故B正确;234161611C.h(x)=sin2x的振幅为，22π122f()=1+0−+0=，则f(x)max>，23332则f(x)的振幅大于，大于h(x)的振幅，31故声音甲的响度一定比纯音h(x)=sin2x响度大，故C正确；21D.易知g(x)的周期为2π，则其频率为，2π2π3而h(x)的周期为，则其频率为，32π131由<，得声音甲比纯音h(x)=sin3x更低沉，故D正确．2π2π3故选A．4.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：∘C)满足函数关系y=ekx+b(e∘为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0°C的保鲜时间是192h，在22C的保鲜时间是48h，则该食品在33°C的保鲜时间是（）A.16hB.20hC.24hD.26h【答案】C\n【解析】解：y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，eb=192，当x=22时e22k+b=48，22k481∴e==，192411k1e=，2eb=192，33k+b=(ek)33(eb)=(1)3×192=24．当x=33时，e2故选C．5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年【答案】B【解析】解：根据题意，设第n年开始超过200万元，则130×(1+12%)n−2017>200，化为：(n−2017)lg1.12>lg2−lg1.3，lg2−lg1.3解可得：n−2017>≈3.8；lg1.12则n≥2021，故选：B．π26.设函数f(x)=cos(2−πx)+(x+e)的最大值为M，最小值为N，则(M+N−1)2020的值为x2+e2（）A.1B.2C.22020D.32020【答案】Aπ2cos(−πx)+(x+e)【解析】解：f(x)=2x2+e2sinπx+x2+2xe+e2=x2+e2sinπx+2xe=+1，x2+e2\nsinπx+2xe设g(x)=22，x+e∴g(−x)=−g(x)，x∈R，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max+g(x)min=0，∴M+N=g(x)max+g(x)min+2=2，∴(M+N−1)2020=1，故选：A．7.洪泽湖是中国大湖中唯一的活水湖，水质优良，有利于优质大闸蟹生产，大闸蟹的背面有字母“H”的形状，是洪泽湖天然的“地理标志”.洪泽湖大闸蟹具有个大、蟹肥、肉香的特质.泗洪县是洪泽湖大闸蟹的主产区，今年又喜获丰收.泗洪中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某大闸蟹生产销售合作社为了实现100万元的利润目标，准备制定激励其销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20％.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）(参考数据：1.015100≈4.432,lg11≈1.041)A.y=0.04xB.y=1.015x−1xC.y=tan(19−1)D.y=log11(3x−10)【答案】D【解析】解：由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：当6<x⩽100时，①函数为增函数；②y⩽3；③y⩽20％x．选项A：满足条件①，但当x>75时，不满足条件②，所以选项A错误；选项B：满足条件①，但当x=100时，有y=1.015100−1≈3.432>3，不符合条件②，所以选项B错误；x选项C：当6<x⩽100时，y=tan(−1)不满足条件①，所以选项C错误；19选项D：满足条件①.当x=100时，有ymax=log11290<log11113=3，满足条件②.而y=log11(3x−10)⩽20％x恒成立，满足条件③，故选项D正确．\n故选D．二、单空题8.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用______年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．【答案】10【解析】解：设使用x年的年平均费用为y万元．x(x−1)10+0.9x+(0.2x+×0.2)由已知，得y=2，x10x∗即y=1++(x∈N).x1010x由基本不等式知y≥1+2·=3，x1010x当且仅当=，即x=10时取等号，x10因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元，故答案为10．9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走的路程最短，小船应朝与水流方向成__________度角的方向行驶．【答案】135【解析】解：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直．→→又v=|AB|=1，v=|AC|=2，∠ADC=90°，水船∴∠CAD=45°故答案为135\n10.某歌碟出租店有两种租碟方式：一种是用会员卡租碟，办会员卡每月10元，租碟每张6角；另一种是不用会员卡租碟每张1元．若小强经常来此店租碟，当每月租碟至少_______张时，用会员卡租碟更合算．【答案】26【解析】解：设每月租碟x张．办会员卡租碟共计10+0.6x，零星租碟共计x，由题意得：x>10+0.6x，解得：x>25，故至少要26张以上才更合算．故答案为26．11.将(a+b+c)8展开且合并同类项后，展开式的项数为________．【答案】45【解析】解：对于这个式子，可以知道必定会有形如qaxbycz的式子出现，其中q∈R，x，y，z∈N而且x+y+z=8构造11个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法C2种，10每一组中都去掉一个小球的数目分别作为(a+b+c)8的展开式中每一项中a，b，c各字母的次数．小球分组模型与各项的次数是一一对应的．故(a+b+c)8的展开式中，合并同类项之后的项数为C2，10故答案为45．三、解答题12.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．\n(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．【答案】解：(1)设矩形的另一边长为am，则y=45x+180(x−2)+1802a=225x+360a−360．360由已知ax=360，得a=，x3602所以y=225x+−360(x>2);x3602(2)因为x>0，所以225x+≥2225×3602=10800，x36023602所以y=225x+−360≥10440，当且仅当225x=时，等号成立．xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．13.湖北省第二届(荆州)园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(万元)与年产量x(万台)满足如180−2x,0<x≤20下关系式：G(x)=20009000．70+−,x>20xx(x+1)(Ⅰ)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入−成本)\n(Ⅱ)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．−2x2+100x−500,0<x≤20【答案】解：(Ⅰ)W(x)=xG(x)−80x−50=9000．−10x−+1950,x>20x+1(Ⅱ)当0<x≤20时W(x)=−2x2+100x−50=−2(x−25)2+1200，∴W(x)max=W(20)=1150．900900当x>20时W(x)=−10(x+1+)+1960≤−10×2(x+1)×+1960=1360．x+1x+1900当且仅当x+1=即x=29时等号成立，x+1∴W(x)=W(29)=1360．∵1360>1150，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．14.改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，如表为2012年−2015年我国卫生总费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比．个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出卫生总费用占卫生总占卫生总占卫生总年份绝对数(亿绝对数(亿绝对数(亿(亿元)费用比重费用比重费用比重元)元)元)(%)(%)(%)201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45(数据来源于国家统计年鉴)(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：357876.6053(2)设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f(t)=1+e6.4420−0.1136t研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【答案】解：(1)由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．(2)∵y=e6.4420−0.1136t是减函数，且y=e6.4420−0.1136t>0，\n357876.6053∴f(t)=在N上单调递增，1+e6.4420−0.1136t357876.6053令>120000，解得t>50.68，1+e6.4420−0.1136t∴当t≥51时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．15.“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：x234568911y12334568(1)请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系(当|r|>0.8时，说明y与x之间具有线性相关关系)；(2)根据(1)的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当x=24时，对应的利润y为多少(b,a,y精确到0.1)．附参考公式：回归方程中y=bx+a中b和a最小二乘估计分别为nnxi=1xiyi−nxyb=i=1iyi−nxyx，相关系数r=nx2−nx2，a=y−bn(x2n(y2i=1ii=1i−x)i=1i−y)参考数据：8xy=241，8x2=356，8(x−x)2≈8.25，8(y−y)2=6．i=1iii=1ii=1ii=1i【答案】解：(1)由题意计算x=6,y=4，又8xy=241,8(x−x)≈8.25,8(y−y)2=6，i=1iii=1ii=1i8(x8xi=1i−x)(yi−y)i=1iyi−8xy241−8×6×4所以r==≈≈0.99>0.8，8(x28(y28(x28(y28.25×6i=1i−x)i=1i−y)i=1i−x)i=1i−y)所以y与x之间具有线性相关关系；8i=1xiyi−8xy241−8×6×4(2)因为b=822=356−8×62≈0.7，x−8xi=1i\na=y−bx≈4−0.7×6=−0.2，所以回归直线方程为y=0.7x−0.2，当x=24时，计算y=0.7×24−0.2=16.6，即测利润为16.6万元．