四川省遂宁市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（ ）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（ ）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i3．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（ ）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，ex＜lnx，则（ ）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（ ）A．1B．﹣1C．﹣6D．66．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）A．﹣15B．﹣9C．1D．97．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=﹣lnx的两个零点，若a∈（x1，1），b∈（1，x2），则（ ）A．f（a）＜0，f（b）＜0B．f（a）＜0，f（b）＞0C．f（a）＞0，f（b）＞0D．f（a）＞0，f（b）＜08．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（ ）第21页共21页,A．243B．363C．729D．10929．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（ ）A．72B．144C．60D．9810．（5分）在数列{an}中，a2=8，a5=2，且2an+1﹣an+2=an（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（ ）A．210B．10C．50D．9011．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（ ）A．B．1C．2D．4第21页共21页,12．（5分）已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，2e2]B．[0，2e3]C．（0，2e2]D．（0，2e3] 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线f（x）=x3﹣x+3在点P（1，f（1））处的切线方程为 ．14．（5分）已知{an}是等比数列，若=（a2，2），=（a3，3），且∥，则= ．15．（5分）甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的标准方程为 ．16．（5分）若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在各项均不相等的等差数列{an}中，已知a4=5，且a3，a5，a8成等比数列（1）求an；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．第21页共21页,18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．19．（12分）2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开．一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．20．（12分）已知点M（x，y）与定点F2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）若点F1的坐标为（﹣1，0），过F2第21页共21页,的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值点；（2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明． 第21页共21页,四川省遂宁市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（ ）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，∴∁RB）={x|x≤2或x≥7}，∴A∩（∁RB）=（﹣3，2]，故选：C． 2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（ ）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i【解答】解：∵z=a+i，∴z+=2a=4，得a=2．∴复数z的共轭复数=2﹣i．故选：B． 3．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（ ）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=cos（+α）cos[﹣（+α）]=cos（+α）sin（+α）=sin（+2α）=cos2α=，故选：A．第21页共21页, 4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，ex＜lnx，则（ ）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=ex﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，ex＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D． 5．（5分）向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（ ）A．1B．﹣1C．﹣6D．6【解答】解：，；∴．故选：D． 6．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）A．﹣15B．﹣9C．1D．9【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：第21页共21页,在坐标系中画出可行域△ABC，A（﹣6，﹣3），B（0，1），C（6，﹣3），由图可知，当x=﹣6，y=﹣3时，则目标函数z=2x+y的最小，最小值为﹣15．故选：A． 7．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=﹣lnx的两个零点，若a∈（x1，1），b∈（1，x2），则（ ）A．f（a）＜0，f（b）＜0B．f（a）＜0，f（b）＞0C．f（a）＞0，f（b）＞0D．f（a）＞0，f（b）＜0【解答】解：令f（x）=0，则lnx=，分别作出y=lnx和y=的图象，可得0＜x1＜1，1＜x2，由a∈（x1，1），b∈（1，x2），可得lna＞，即f（a）=﹣lna＜0，lnb＜，即f（b）=﹣lnb＞0，故选：B．第21页共21页, 8．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（ ）A．243B．363C．729D．1092【解答】解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数；当x=32时，y是整数；依此类推可知当x=3n（n∈N*）时，y是整数，则由x=3n≥1000，得n≥7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，第21页共21页,故选：D． 9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（ ）A．72B．144C．60D．98【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=2处有极值，2a+b=24，∵a＞0，b＞0∴2ab≤（）2=144，当且仅当2a=b时取等号所以ab的最大值等于72，故选：A． 10．（5分）在数列{an}中，a2=8，a5=2，且2an+1﹣an+2=an（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（ ）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2an+1﹣an+2=an（n∈N*），即2an+1=an+2+an（n∈N*），∴数列{an}是等差数列，设公差为d，则a1+d=8，a1+4d=2，联立解得a1=10，d=﹣2，∴an=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．令an≥0，解得n≤6．Sn==11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10=2S6﹣S10=2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）第21页共21页,=50．故选：C． 11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（ ）A．B．1C．2D．4【解答】解：椭圆的焦点为（±，0），可得双曲线的c=，离心率为，可得a=5，由双曲线左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，可得ON∥MF1，|ON|=|MF1|，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|=2×5，∴|MF1|=8．∴|ON|=4，故选：D．第21页共21页, 12．（5分）已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，2e2]B．[0，2e3]C．（0，2e2]D．（0，2e3]【解答】解：当x＞0时，f（x）=alnx﹣x2﹣2，若a＜0时，f（x）在（0，+∞）为减函数，此时函数无最大值，即不满足题意，当a=0时，f（x）≤a﹣2，即为﹣x2﹣2≤a﹣2，即x2≥0恒成立，满足题意，当a＞0时，f（x）=alnx﹣x2﹣2，f′（x）=﹣2x=，令f′（x）=0，解得x=，或x=﹣舍去，当f′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，解得x＞，此时函数f（x）单调递减，∴f（x）max=f（）=aln﹣﹣2=ln﹣﹣2，∴ln﹣﹣2≤a﹣2，即0＜a≤2e3，x＜0时，f（x）=x++a，此时函数f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，在（0，1）为增函数，∴f（x）max=f（﹣1）=﹣2+a≤a﹣2恒成立，第21页共21页,综上所述a的取值范围为[0，2e3]，故选：B 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线f（x）=x3﹣x+3在点P（1，f（1））处的切线方程为 2x﹣y+1=0 ．【解答】解：根据题意，对于f（x）=x3﹣x+3，其导数f′（x）=3x2﹣1，当x=1时，f′（1）=3﹣1=2，即切线的斜率k=2，f（1）=1﹣1+3=3，即切点P的坐标为（1，3），则曲线在点P处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），变形可得2x﹣y+1=0；故答案为：2x﹣y+1=0． 14．（5分）已知{an}是等比数列，若=（a2，2），=（a3，3），且∥，则= ．【解答】解：=（a2，2），=（a3，3），且∥，∴3a2﹣2a3=0，∴=；又{an}是等比数列，∴q=；∴===．故答案为：． 第21页共21页,15．（5分）甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的标准方程为 （x﹣1）2+（y+1）2= ．【解答】解：由题意知，甲的平均数b为：=20，乙的众数a是：40，∴直线ax+by+8=0，即10x+5y+2=0，A（1，﹣1）到直线的距离为=，∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，∴r=，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=，故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=． 16．（5分）若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是 （0，2e] ．【解答】解：两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，y=x2﹣1的导数y′=2x，y=alnx﹣1的导数为y′=，设y=x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y=alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），第21页共21页,y﹣（n2﹣1）=2n（x﹣n），即y=2nx﹣n2﹣1，y﹣（alnm﹣1）=（x﹣m），即：y=∴∴，∵a＞0，∴即有解即可，令g（x）=x2（1﹣lnx），y′=2x（1﹣lnx）+=x（1﹣2lnx）=0，可得x=，∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（）=，又g（0）=0，∴0，∴0＜a≤2e．故答案为：（0，2e]． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在各项均不相等的等差数列{an}中，已知a4=5，且a3，a5，a8成等比数列（1）求an；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵{an}为等差数列，设公差为d，由题意得，第21页共21页,解得d=1或d=0（舍），a1=2，∴an=2+（n﹣1）×1=n+1．（2）由（1）知Sn=，∴bn==﹣，∴=故Tn=． 18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．【解答】解：（1）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以函数的取值范围是[0，3]；（2）由对任意的x∈R，都有f（x）≤f（A），得2A﹣=2kπ+，k∈Z，解得A=kπ+，k∈Z，又∵A∈（0，π）∴，∵=（c2+b2+2bccosA）=（c2+b2+bc）=×（16+4+8）=7，所以． 第21页共21页,19．（12分）2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开．一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）这100人的平均得分为：×=71.5．…（3分）（2）第3组的人数为0.06×5×100=30，第4组的人数为0.04×5×100=20，第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人，∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1．…（7分）（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己第21页共21页,）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、（丁、戊）、（丁、己）、（戊、己）共15种情况，…（9分）其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为．…（12分） 20．（12分）已知点M（x，y）与定点F2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）若点F1的坐标为（﹣1，0），过F2的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可有=，化简可得点M的轨迹方程为+=1．其轨迹是焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△F1AB面积S=|F1F2|•|y1﹣y2|，由题意知，直线l的方程为x=my+1，由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则y1+y2=，y1y2=，又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，则S=|y1﹣y2|==第21页共21页,令，令，上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，，故当t=1，即m=0，三角形的面积最大，最大值为3． 21．（12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值点；（2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=，求导得f′（x）=，令f'（x）=0，解得x=e，…（2分）又函数的定义域为（0，+∞），当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，e）单调递增；在（e，+∞）单调递减，有极大值点x=e；无极小值点．…（4分）（2）由f（x）≤a（1﹣）恒成立，得≤a（1﹣），（x≥1）恒成立，即xlnx≤a（x2﹣1）（x≥1）恒成立．令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1）g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（ ）=lnx+1﹣2ax，则F′（x）=，…（5分）①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，故有g（x）≥g（1）=0不符合题意．…（7分）②若，∴，第21页共21页,从而在上，g′（x）＞g′（1）=1﹣2a＞0，同（1），不合题意…（9分）③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）递减，故g（x）≤g（1）=0…（11分）综上所述，a的取值范围是[，+∞）．…（12分） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，第21页共21页,将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分） 23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明．【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3，①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得：a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得：a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．…（5分）（2）f（x）≥1，因为a≥，所以f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|≥|（1﹣x﹣a）﹣（2a﹣x）|=|1﹣3a|=3a﹣1≥1…（10分） 第21页共21页
