四川省南充市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（ ）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）A．B．C．﹣D．23．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（ ）A．=0.7x﹣2.3B．=﹣0.7x+10.3C．=﹣10.3x+0.7D．=10.3x﹣0.75．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（ ）A．4B．5C．24D．256．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f（x）的一个单调递增区间是（ ）A．（）B．（）C．（）D．（）7．（5分）若0＜m＜1，则（ ）第21页共21页,A．logm（1+m）＞logm（1﹣m）B．logm（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A．B．4C．3D．9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）A．（1，5）B．[1，5）C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）A．B．48πC．24πD．16π11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第21页共21页, 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ．14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8= ．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ．16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．第21页共21页,（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．第21页共21页,（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）． 第21页共21页,四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（ ）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故选C 2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）A．B．C．﹣D．2【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C． 3．（5分）该试题已被管理员删除 4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（ ）A．=0.7x﹣2.3B．=﹣0.7x+10.3C．=﹣10.3x+0.7D．=10.3x﹣0.7第21页共21页,【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B． 5．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（ ）A．4B．5C．24D．25【解答】解：由题意an+12﹣an2=1，∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值为24．故选C． 6．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f（x）的一个单调递增区间是（ ）A．（）B．（）C．（）D．（）第21页共21页,【解答】解：由图象可知：T=﹣=，∴T==π，∴ω=2，又×2+φ=π（或×2+φ=），∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得其单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]．当k=1时，单调递增区间为：[，]．显然，（，）⊆[，]．故选D． 7．（5分）若0＜m＜1，则（ ）A．logm（1+m）＞logm（1﹣m）B．logm（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=logmx是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m＞0，∴logm（1+m）＜logm（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴logm（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D． 8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）第21页共21页,A．B．4C．3D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A． 9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）A．（1，5）B．[1，5）C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，第21页共21页,解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B． 10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）A．B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A． 11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（ ）A．B．C．D．第21页共21页,【解答】解：∵a1=∴a2=2×﹣1=，a3=2×﹣1=，a4=2×=a5=2×=，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，∴a1+a2+a3+a4=+++=2，∴S2018=504×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=1008+=，故选：B． 12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=．由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以kPA•kPB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．第21页共21页, 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ﹣1 ．【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1． 14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8= 320 ．【解答】解：∵log2an+1=1+log2an∴an+1=2an∴数列{an}是2为公比的等比数列∴a8=a325=320故答案为：320 15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈第21页共21页,R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 4 ．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4． 16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （，） ．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，第21页共21页,由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故kBC=，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC=；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．第21页共21页,（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．【解答】解：（1）因为=，所以f（x）的最小正周期为2π．因为x∈R，所以，所以f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）由（1）得，所以．因为0＜A＜π，所以，所以，因为，由正弦定理可得，所以sinB=1，因为0＜B＜π，所以，故得：． 18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．第21页共21页,（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁）（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n．从这6人中选取2人，结果共有15种：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），（dm），（dn），（mn）．设“这2人在不同年龄组“为事件A．则事件A所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为． 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．第21页共21页,【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，∵MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．∵MP∩NP=P，∴平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，∴MN∥平面BCE；（2）解：由（1）可得MP∥DA，且MP=DA，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，且DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，∴M到平面ENB的距离为，∵N为AB的中点，∴，∴==． 20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2第21页共21页,，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（I）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=∴c=1，a=2，∴b=，∴椭圆的标准方程为+=1…（4分）（II）设P（x0，y0），则∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），∴•=（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02=x2+3x+5，由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2当x=﹣2时，取最小值0，当x=2时，取最大值12．∴•的取值范围是[0，12]…（12分） 21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．【解答】解：（1）因为f'（x）=ex，设切点为（t，et），所以k=et，b=et（1﹣t），所以直线l的方程为：y=etx+et（1﹣t），令函数F（x）=f（x）﹣kx﹣b，即F（x）=ex﹣etx﹣et（1﹣t），F'（x）=ex﹣et，所以F（x）在（﹣∞，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，第21页共21页,所以F（x）min=f（t）=0，故F（x）=f（x）﹣kx﹣b≥0，即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立．（2）令H（x）=f（x）﹣kx﹣b=ex﹣kx﹣b，x∈[0，+∞）H'（x）=ex﹣k，x∈[0，+∞），①当k≤1时，H'（x）≥0，则H（x）在[0，+∞）单调递增，所以H（x）min=H（0）=1﹣b≥0，b≤1，即，符合题意．②当k＞1时，H（x）在[0，lnk]上单调递减，在[lnk，+∞）单调递增，所以H（x）min=H（lnk）=k﹣klnk﹣b≥0，即b≤k（1﹣lnk），综上所述：满足题意的条件是或． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．第21页共21页,（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以． 23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|第21页共21页,=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立． 第21页共21页
