四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（ ）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞22．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（ ）A．1B．iC．﹣2iD．﹣23．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）第21页共21页,A．18B．17C．16D．156．（5分）已知．则m=（ ）A．﹣6或1B．﹣1或6C．6D．17．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（ ）A．56B．336C．360D．14408．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（ ）A．B．C．D．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（ ）A．B．﹣C．﹣1D．110．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（ ）A．B．8πC．D．4π11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（ ）A．1﹣ln2B．ln2C．2﹣3D．e2﹣3第21页共21页,12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（ ）A．1B．C．2D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a= ．14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为 ．15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为 ．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；第21页共21页,（II）求四面体N﹣BCM的体积．19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0第21页共21页,＜f（x1）＜1． 选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值． 选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围． 第21页共21页,四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（ ）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围[2，+∞）．故选C． 2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（ ）A．1B．iC．﹣2iD．﹣2【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，故选D． 3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥第21页共21页,平面α”的必要不充分条件．故选：C． 4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D． 5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011第21页共21页,坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A．18B．17C．16D．15【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B． 6．（5分）已知．则m=（ ）A．﹣6或1B．﹣1或6C．6D．1【解答】解：∵已知===，求得m=﹣6，或m=1，故选：A． 7．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（ ）A．56B．336C．360D．1440第21页共21页,【解答】解：执行程序框图，可得m=8，n=3，k=8，s=1不满足条件k＜m﹣n+1，s=8，k=7，不满足条件k＜m﹣n+1，s=56，k=6，不满足条件k＜m﹣n+1，s=336，k=5，满足条件k＜m﹣n+1，退出循环，输出s的值为336．故选：B． 8．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a2=4=a1+d，∴a1=2=d，∴Sn==n2+n，∴，∴=．故选：B． 9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（ ）A．B．﹣C．﹣1D．1【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+第21页共21页,4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）的周期是4，∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，故选C． 10．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（ ）A．B．8πC．D．4π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，∵AB=BC=，∴BD⊥AC，∵SA=SC=2，∴SD⊥AC，AC⊥平面SDB．∴∠SDB为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，∴AC=2．∵平面SAC⊥平面BAC，∴∠SDB=90°，取等边△SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径R=SE==，∴该四面体外接球的表面积S=4πR2=4=．故选：A． 第21页共21页,11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（ ）A．1﹣ln2B．ln2C．2﹣3D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴em﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B 12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2第21页共21页,为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（ ）A．1B．C．2D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a= 2 ．【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，故答案为：2． 第21页共21页,14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为 ﹣14 ．【解答】解：设递减等差数列{an}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=﹣1．则S7=7﹣=﹣14．故答案为：﹣14． 15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为 ．【解答】解：=+==+=+=，∵三点M，P，N三点共线，∴．∴λ+2μ=（λ+2μ）（）=．故答案为： 16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞第21页共21页,），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是 ．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，第21页共21页,由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴，即C=120°．（2）由余弦定理可得，又a＞0，a=2，∴，∴△ABC的面积为． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．∴AM=，取BP的中点T，连结AT，TN，∴由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2，第21页共21页,又AD∥BC，∴TNAM，∴四边形AMNT是平行四边形，∴MN∥AT，又AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MNⅡ平面PAB．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，∴N到平面ABCD的距离为=2，取BC的中点E，连结AE，由AB=AC=3，得AE⊥BC，AE==，由AM∥BC，得M到BC的距离为，∴S△BCM==2，∴四面体N﹣BCM的体积：==． 19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．第21页共21页,【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算速度在70km/h以上的频率为1﹣（0.010+0.020）×5=0.85，估计速度在70km/h以上的概率是0.85；（Ⅱ）这40辆车中，车速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6辆，其中在[65，70）的有5×0.02×40=4辆，记为A，B，C，D，在[60，65）的有5×0.01×40=2辆，记为a，b；从车速在[60，70）的这6辆汽车中任意抽取2辆，可能结果是AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab有15种不同的结果，其中抽出的2辆车车速至少有一辆在[60，65）内的结果是Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db、ab有9种；故所求的概率为P==． 20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，因为．即，第21页共21页,所以，所以，又因为|AB|=1所以即即所以椭圆的标准方程为（2）由方程组得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以因为直线x=ty+1过点F（1，0）所以△ABE的面积令则不成立，不存在直线l满足题意． 21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0＜f（x1）＜1．【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=2ex﹣x2，则f'（x）=2ex﹣2x，令h（x）=2ex﹣2x，h'（x）=2ex﹣2，由于x∈（0，+∞）故h'（x）=2ex﹣2＞0，于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）为增函数，第21页共21页,所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f'（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，从而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）为增函数，故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．（2）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f'（x）=kex﹣2x=0的两个根，即方程有两个根，设，则，当x＜0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；当0＜x＜1时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；当x＞1时，φ'（x）＜0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数k的取值范围是．又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由得，∴由于x1∈（0，1），故，所以0＜f（x1）＜1． 第21页共21页,选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．∴直线l的方程为：，代入椭圆的方程可得：=12，化为=0，t1+t2=，∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=． 选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．第21页共21页,【解答】解：（1）当m=5时，，由f（x）＞2的不等式的解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1处取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4． 第21页共21页
