河南省高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（ ）A．0B．1C．2D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（ ）A．2B．3C．4D．6第25页共25页,5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（ ）A．﹣1.4B．﹣2.6C．﹣4.6D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A．2或﹣3B．3或﹣2C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）第25页共25页,A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+211．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（ ）A．B．C．3D．212．（5分）已知函数f（x）=ex+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•= 第25页共25页,14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则= ．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（﹣1）n﹣1anan+1，求数列{bn}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1第25页共25页,中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为第25页共25页,（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围． 第25页共25页,河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B． 2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B． 3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．第25页共25页,已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D． 4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（ ）A．2B．3C．4D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，第25页共25页,∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C． 5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B． 6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（ ）第25页共25页,A．﹣1.4B．﹣2.6C．﹣4.6D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C． 7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，第25页共25页,即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D． 8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A．2或﹣3B．3或﹣2C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．第25页共25页, 9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，第25页共25页,∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B． 10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．SABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，∴S△PAD=，则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D第25页共25页, 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（ ）A．B．C．3D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A． 12．（5分）已知函数f（x）=ex+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即ex+2x2+ax﹣lnx﹣ex﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，第25页共25页,当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•= ﹣4 【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB第25页共25页,=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4． 14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：． 15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则= ．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，第25页共25页,故答案为：． 16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为 2 ．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．第25页共25页, 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（﹣1）n﹣1anan+1，求数列{bn}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以an=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=． 18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．第25页共25页,（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=． 19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．第25页共25页,【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DBA1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．第25页共25页, 20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，第25页共25页,易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故． 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．第25页共25页,而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②第25页共25页,①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为． [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分第25页共25页,（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分 第25页共25页
