四川省达州市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限{C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣3＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤3}}{}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|1≤x≤3}3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．85和92B．87和92C．84和92D．85和904．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（ ）A．﹣2B．C．2D．45．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（ ）A．﹣-B．-C．﹣D．6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（ ）A．x=+kπ，k∈ZB．x=+2kπ，k∈ZC．x=﹣+2kπ，k∈ZD．x=+kπ，k∈Z7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（ ）第19页共19页,A．a＜0B．a＜﹣1C．﹣1＜a＜0D．a＞﹣19．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（ ）A．5B．6C．100D．10110．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（ ）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（ ）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．a＞c＞b12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（ ）第19页共19页,A．B．C．pD． 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为 ．14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为 ．15．（5分）已知x，y满足í，则2x﹣y的最大值是 ．16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．18．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}前n项的和Tn．19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计第19页共19页,个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．参考公式及数据K2检验临界值表：K2=（其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．第19页共19页,21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值． 选修4-5不等式选讲23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：f（x）≥9． 第19页共19页,四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限{C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数1+2i在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）所以：该点在第一象限．故选：A． 2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣3＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤3}}{}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|1≤x≤3}【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，∴A∩B={x|1≤x≤3}．故选：D． 3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．85和92B．87和92C．84和92D．85和90【解答】解：这组数据从小到大为：82，83，84，85，89，92，92，93，众数为92，中位数为中间两数的平均数，即（85+89）÷2=87故选：B 第19页共19页,4．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（ ）A．﹣2B．C．2D．4【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则q3==8，解可得q=2；故选：C． 5．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（ ）A．﹣-B．-C．﹣D．【解答】解：已知sinα=，由cos（π+2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2×=故选：A． 6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（ ）A．x=+kπ，k∈ZB．x=+2kπ，k∈ZC．x=﹣+2kπ，k∈ZD．x=+kπ，k∈Z【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程：x﹣=+kπ，可得：x=，k∈Z．故选：A． 7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．第19页共19页,【解答】解：根据题意，x2+y2=4与x轴的交点为（±2，0），抛物线y2=10x的焦点为（，0），即椭圆的焦点为（±2，0），椭圆的顶点为（，0），则椭圆中c=2，a=，则椭圆的离心率e===；故选：C． 8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（ ）A．a＜0B．a＜﹣1C．﹣1＜a＜0D．a＞﹣1【解答】解：∵方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根，∴，解得a＜﹣1．故选：B． 9．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（ ）A．5B．6C．100D．101第19页共19页,【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件；故输出的n值为6，故选：B 10．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，x∈[﹣e，e]，解f（x0）≤1得：x0∈[﹣1，e﹣1]故P（A）==，故选：A 11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（ ）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．a＞c＞b【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．由于a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），c=f（0.5）=f（﹣0.5），﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，第19页共19页,∴a＞c＞b，故选：D 12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（ ）A．B．C．pD．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1∴该小球的体积为V球=•13=．故选：B． 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）第19页共19页,13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为 3x+y﹣5=0 ．【解答】解：由题意可得直线的点斜式方程为：y﹣2=﹣3（x﹣1），化为一般式可得3x+y﹣5=0故答案为：3x+y﹣5=0． 14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为 2 ．【解答】解：向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则•=λ﹣2=0，解答λ=2．故答案为：2． 15．（5分）已知x，y满足í，则2x﹣y的最大值是 4 ．【解答】解：根据x，y满足画出可行域，如图：由图得当z=2x﹣y过的交点A（2，0）时，Z最大为4．故答案为：4．第19页共19页, 16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为 e ．【解答】解：∵0＜a＜b＜t，blna＜alnb，∴＜，（a＜b），令y=，则函数在（0，t）递增，故y′=＞0，解得：0＜x＜e，故t的最大值是e，故答案为：e． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）．（1）函数f（x）的周期T=；（2）由f（A）=1，即sin（2A﹣）=1，∵0＜A＜π，第19页共19页,∴2A﹣=可得：A=．∵sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C正弦定理可得：ac=a2+c2由余弦定理：cosB===．∵0＜B＜π，可得：B=．那么：C=π﹣A﹣B= 18．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}前n项的和Tn．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx的图象经过（﹣1，0）点，则：a﹣b=0，即a=b①，由于：f′（x）=2ax+b，函数f（x）=ax2+bx在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，则：﹣2a+b=﹣1②，由①②得：a=1，b=1．数列{an}的前n项和Sn=f（n）=n2+n，，所以：an=Sn﹣Sn﹣1=2n，当n=1时，a1=2符合上式，则：an=2n．第19页共19页,（2）由于an=2n，则：==，则：+…+，=，=． 19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．参考公式及数据K2检验临界值表：K2=（其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828第19页共19页,【解答】解：（1）收入在（33，41]上的返乡创业人员频率为0.010×4+0.005×4=0.06，估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数为1000×0.06=60（人）；（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过17万元的人数是1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，由此填写2×2列联表如下；已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340260600个人年收入不超过17万元260140400总计6004001000计算K2=≈6.944＞6.635，所以有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关． 20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；第19页共19页,（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．【解答】（1）证明：连接BC1，∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点，∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点，∴MN∥A1C1，又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，∴MN∥平面AA1C1C．（2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴V=S•BC==2，又A1B==，∴S==．设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，∵V=V，∴2=，∴h=．∴点B1到面A1BC的距离为． 第19页共19页,21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x，，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．（2）方程f（x）=g（x）的根⇔的根，令h（x）=，（x＞0，a≥1），①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根．②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，a）时，′（x）＜0，x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，而h（1）=﹣a﹣，x→+∞时，h（x）→+∞，函数h（x）与x轴只有一个交点，∴方程f（x）=g（x）有唯一实根．综上所述：方程f（x）=g（x）有唯一实根． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；第19页共19页,（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）直线l的方程为：（t为参数），转化为：x﹣y﹣1=0．曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，转化为：x2+y2﹣6x+1=0．（2）把直线l的方程：（t为参数），代入x2+y2﹣6x+1=0得到：，A点的参数为t1，B点的参数的为t2，则：|MA|•|MB|=t1•t2=2． 选修4-5不等式选讲23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：f（x）≥9．【解答】解（1）f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则（a+b+c）（）=3+（）=9当且仅当a=b=c=时取等号．∴f（x）的最小值为9．（2）证明：f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则（a+b+c）（）=3+（）第19页共19页,=9当且仅当a=b=c=时取等号．∴f（x）≥9． 第19页共19页
