四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（ ）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（ ）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i3．（5分）“”是“log2a＞log2b”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）A．0.3B．0.35C．0.5D．0.75．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（ ）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（ ）第22页共22页,A．243B．363C．729D．10927．（5分）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），不同排法种数为（ ）A．144B．192C．360D．7208．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（ ）A．121B．144C．72D．809．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1为函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的最大值，且满足an﹣anSn+1=﹣anSn，则数列{an}的前2018项之积A2018=（ ）A．1B．C．﹣1D．210．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）第22页共22页,A．2B．C．D．11．（5分）已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（ ）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（ ）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+] 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是 ．14．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是 ．15．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为 ．16．（5分）设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为 ． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，2），满足条件⊥（1）求数列{an}的通项公式；第22页共22页,（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取50名同学（男30，女20），给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人）几何体代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期E（X）附表及公式P（k2≥k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001k02.0722.7063.4815.0246.6357.87910.828k2=．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=第22页共22页,，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ex+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣ex在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=ex+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明． 第22页共22页,四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（ ）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，∴∁RB）={x|x≤2或x≥7}，∴A∩（∁RB）=（﹣3，2]，故选：C． 2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（ ）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i【解答】解：∵z=a+i，∴z+=2a=4，得a=2．∴复数z的共轭复数=2﹣i．故选：B． 3．（5分）“”是“log2a＞log2b”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“”⇔a＞b，“log2a＞log2b”⇔a＞b＞0．∴“”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件．第22页共22页,故选：B． 4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）A．0.3B．0.35C．0.5D．0.7【解答】解：由题意可得，故选：B． 5．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（ ）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=cos（+α）cos[﹣（+α）]=cos（+α）sin（+α）=sin（+2α）=cos2α=，故选：A． 6．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（ ）第22页共22页,A．243B．363C．729D．1092【解答】解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数；当x=32时，y是整数；依此类推可知当x=3n（n∈N*）时，y是整数，则由x=3n≥1000，得n≥7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选：D． 7．（5分）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），不同排法种数为（ ）A．144B．192C．360D．720【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求数学课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），则数学课有4种排法，生物课有2种排法，故这两门课有4×2=8种排法；第22页共22页,②，将剩下的4门课全排列，安排在其他四节课位置，有A44=24种排法，则共有8×24=192种排法，故选：B． 8．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（ ）A．121B．144C．72D．80【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=2处有极值，2a+b=24，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2=144，当且仅当2a=b时取等号，所以ab的最大值等于72，故选：C． 9．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1为函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的最大值，且满足an﹣anSn+1=﹣anSn，则数列{an}的前2018项之积A2018=（ ）A．1B．C．﹣1D．2【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），当x=2kπ+，k∈Z时，f（x）取得最大值2，则a1=2，由an﹣anSn+1=﹣anSn=1﹣anSn，即为an=anSn+1﹣anSn+1，即有an+1==1﹣，第22页共22页,an+2=1﹣=，an+3=1﹣=an，则数列{an}为周期为3的数列，且a1=2，a2=，a3=﹣1，则一个周期的乘积为﹣1，由于2018=3×672+2，则数列{an}的前2018项之积A2018=1×2×=1．故选A． 10．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2﹣4x=0即为（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：=3，由e=，可得e2=4，即e=2．故选A． 第22页共22页,11．（5分）已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由A为锐角且sinA=，不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．∵cos∠COD==cosA=，∴OD=1，DC==2．∴B（﹣2，0），C（2，0），O（0，1），A（m，n），则△ABC外接圆的方程为：x2+（y﹣1）2=9．（*）∵=α+β，∴（﹣m，1﹣n）=α（﹣2﹣m，﹣n）+β（2﹣m，﹣n），∴，∵α+β≠1时，否则=α，由图可知是不可能的．∴可化为，代入（*）可得+=9，化为18（α+β）=9+32αβ，利用重要不等式可得18（α+β）≤9+32（）2，化为8（α+β）2﹣18（α+β）+9≥0，解得α+β≤或α+β≥．第22页共22页,又α+β＜1，故α+β≥应舍去．∴α+β≤，则α+β的最大值为，故选：D． 12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（ ）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]第22页共22页,恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是 ﹣15 ．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：在坐标系中画出可行域△ABC，A（﹣6，﹣3），B（0，1），C（6，﹣3），由图可知，当x=﹣6，y=﹣3时，则目标函数z=2x+y的最小，最小值为﹣15．故答案为：﹣15．第22页共22页, 14．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是 ﹣160 ．【解答】解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160． 15．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为 x2﹣xy﹣1=0（x≠±1） ．【解答】解：设M（x，y），∵AM，BM的斜率存在，∴x≠±1，又∵kAM=，kBM=，∴由kAM+kBM=2得：•=0，整理得：x2﹣xy﹣1=0，∴点M的轨迹方程为：x2﹣xy﹣1=0（x≠±1）．故答案为：x2﹣xy﹣1=0（x≠±1） 16．（5分）设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为 ．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）=g'（x0），即，解出x0=a（舍去），又y0=f（x0）=g（x0），所以有，故，第22页共22页,所以有，对b求导有b'=﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，2），满足条件⊥（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=Sn+2﹣2n+1=0，∴Sn=2n+1﹣2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴an=2n，（2）∵cn==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴． 18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c第22页共22页,（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．【解答】解：（1）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以函数的取值范围是[0，3]；（2）由对任意的x∈R，都有f（x）≤f（A），得2A﹣=2kπ+，k∈Z，解得A=kπ+，k∈Z，又∵A∈（0，π）∴，∵=（c2+b2+2bccosA）=（c2+b2+bc）=×（16+4+8）=7，所以． 19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取50名同学（男30，女20），给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人）几何体代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率第22页共22页,（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期E（X）附表及公式P（k2≥k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001k02.0722.7063.4815.0246.6357.87910.828k2=．【解答】解：（1）由表中数据，得：k2==，∴据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（2）设甲、乙解答同一道题的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足区域为，如图所示：设事件A为“乙比甲先做完此题”，则满足的区域还要满足x＞y，∴由几何概型得乙比甲先解答完成的概率P（A）==．（3）由题意知在8名女生中任意抽取2人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种，∴X的可能取值有0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为：X012PE（X）==．第22页共22页, 20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）（c＞0），∵e=，∴a=2c，又由|EH|=，得，且a2=b2+c2，解得，因此椭圆的方程为：；（2）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），与直线l的方程x=﹣1联立，可得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．将x=my+1与联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=．由点B异于点A，第22页共22页,可得点B（）．由Q（﹣1，），可得直线BQ的方程为，令y=0，解得，故D（）．∴|AD|=．又∵△APD的面积为，故，整理得，解得|m|=，∴m=．∴直线AP的方程为，或3x﹣﹣3=0． 21．（12分）已知函数f（x）=ex+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣ex在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=ex+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=ex+px﹣﹣2lnx，（1）当p=2时，f（x）=ex+2x﹣﹣2lnx，f（1）=e，又，∴f′（1）=e+2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e=（e+2）（x﹣1），即（e+2）x﹣y﹣2=0；第22页共22页,（2）F（x）=f（x）﹣ex=px﹣，，由F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，∴F'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0，即对任意x＞0恒成立，设，可知h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则h（x）max=h（1）=1，∴p≥h（1）=1，即p∈[1，+∞）；（3）设函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣，x∈[1，e]，则原问题⇔在[1，e]上至少存在一点x0，使得φ（x0）＞0⇔φ（x）max＞0（x∈[1，e]）．，当p=0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=﹣4＜0，（舍）；当p＜0时，φ（x）=p（x﹣）﹣，∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0，则φ（x）＜0，（舍）；当p＞0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=pe﹣＞0，整理得p＞，综上，p∈（）． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]第22页共22页,22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分） 23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明．第22页共22页,【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3，①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得：a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得：a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．…（5分）（2）f（x）≥1，因为a≥，所以f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|≥|（1﹣x﹣a）﹣（2a﹣x）|=|1﹣3a|=3a﹣1≥1…（10分） 第22页共22页
