四川省德阳市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（ ）A．B．C．D．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）A．B．C．iD．i3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（ ）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（ ）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（ ）A．1B．2C．4D．66．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）第23页共23页,A．192B．186C．180D．1987．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（ ）A．1B．C．2D．8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（ ）A．2018B．1009C．4036D．30279．（5分）在如图所示的边长为1的正方形ABCD中，C，C，C，C是分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆位于正方形内的部分，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（ ）第23页共23页,A．B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（ ）A．24B．12C．8D．611．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ+μ=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（ ）A．B．C．1D．12．（5分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，+∞），若关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣]D．（﹣，0） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），那么f（log23）= ．14．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a，众数为b，平均数为c，则a、b、c中的最大者是 ．第23页共23页,15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，那么这两条平行直线的斜率是 ．16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知存在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+）），使函数f（x）在P、Q点处的切线斜率互为倒数，那么cosφ= ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{an}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．19．（12分）为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动．2015年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；2016年初，社区随机抽取了60名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查．已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：参与调查问卷次数[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）[10，12]参与调查问卷人数814814106第23页共23页,附：P（k2＞k0）0.1000.0500.010k02.7063.8416.635K2=（1）若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成2×2列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？男女合计积极上网参政议政8不积极上网参政议政合计40（2）从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣bx（a，b∈R）．（1）当a=1时，若∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若b=﹣3a2（a＞0）．若函数f（x）的极小值点和极大值点分别为x1，x2．①求f（x1），f（x2）；②当λ∈（0，1）时，求f（）的值域．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围． 请考生在22、23二题中任选一题作答．第23页共23页,22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9． 第23页共23页,四川省德阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，B=={x|x}，∴A∩B={x|}=[，1]．故选：B． 2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）A．B．C．iD．i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），∴z===+i．则z的虚部为．故选：A． 3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（ ）A．B．C．πD．2π【解答】解：根据正弦型函数f（x）=sin（ωx+）的图象与性质知，第23页共23页,对∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，∴f（x）的最小正周期是T=2×=π．故选：C． 4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（ ）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B． 5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（ ）A．1B．2C．4D．6【解答】解：如图，第23页共23页,由题意可知，，且与的夹角为60°，∴=．则，，∴•===．故选：D． 6．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）A．192B．186C．180D．198【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为2、6、3，下部分为长方体．棱长分别为6、6、3，其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+（2+6）×2×2=192故选：A．第23页共23页, 7．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（ ）A．1B．C．2D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得p=4，k=0不满足条件k2≥3k+4，p=4，k=1不满足条件k2≥3k+4，p=8，k=2不满足条件k2≥3k+4，p=32，k=3不满足条件k2≥3k+4，p=256，k=4满足条件k2≥3k+4，退出循环，可得z=故选：D．第23页共23页, 8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（ ）A．2018B．1009C．4036D．3027【解答】解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，那么：+++…+=f2（1）+f2（2）+…+f2（1009）=1009．故选：B 9．（5分）在如图所示的边长为1的正方形ABCD中，C，C，C，C是分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆位于正方形内的部分，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（ ）A．B．﹣C．﹣D．﹣第23页共23页,【解答】解：如图，由对称性可知，阴影部分所占面积为弓形BC1D面积的一半，∵正方形ABCD的边长为1，则扇形ABD的面积为，直角三角形ABD的面积为，∴阴影部分的面积为．又正方形ABCD的面积为1，∴从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于．故选：D． 10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（ ）A．24B．12C．8D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF1F2是直角三角形，S=，∵△PF1F2的重心为点G．∴S=，∴△GPF1的面积为8，故选：C第23页共23页, 11．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ+μ=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（ ）A．B．C．1D．【解答】解：∵•=（λ+μ）•=λ+μ=λ，=（λ+μ）•=μ+λ=4μ=4﹣4λ，令λ≥4﹣4λ，解得λ≥∴min{•，•}=，设f（x）=，则f（x）在[0，]上递增，在[，1]上递减，∴当x=，f（x）取得最小值，此时=+，∴||2=（16+8•+）=，∴||=，故选：A． 第23页共23页,12．（5分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，+∞），若关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣]D．（﹣，0）【解答】解：，y=|f（x）|，x∈（﹣1，+∞）的图象如下：设|f（x）|=t，则|f（x）|2+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，①t=0时，代入t2+mt+2m+3=0得m=﹣，即，另一根为只有一个交点，舍去②一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上时，设h（t）=t2+mt+2m+3，解得﹣＜m≤﹣．故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），那么f（log23）= 4 ．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），∴f（1）=21﹣e+1=3，解得e=0，∴f（x）=2x+1，∴f（log23）=+1=3+1=4．第23页共23页,故答案为：4． 14．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a，众数为b，平均数为c，则a、b、c中的最大者是 c ．【解答】解：由频率分布直方图知，众数为b=5；由中位数的定义知是第15个数与第16个数的平均值，将数据从小到大排第15个数是5，第16个数是6，∴中位数为a==5.5；平均数是c=×（2×3+3×4+5×10+6×6+3×7+2×9+2×10）≈6.0，∴b＜a＜c，即a、b、c中最大者是c．故答案为：c． 15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，那么这两条平行直线的斜率是 1 ．【解答】解：作出平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间的距离为：，可得可行域的A（1，2），B（2，1），C（3，3），第23页共23页,|AB|==，∴平行线间的距离的最小值为d=，所求直线与x+y﹣3=0垂直，可得：k=1．故答案为：1． 16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知存在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+）），使函数f（x）在P、Q点处的切线斜率互为倒数，那么cosφ= ±1 ．【解答】解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），即有f（﹣x）=f（x）﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f（x）﹣2sinxcosφ，①f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，可得f（﹣x）﹣cos（﹣x+φ）+f（x）﹣cos（x+φ）=0，f（﹣x）+f（x）﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0，即为f（﹣x）+f（x）﹣2cosxcosφ=0，②由①②可得f（x）=（sinx+cosx）cosφ，导数为f′（x）=（cosx﹣sinx）cosφ，第23页共23页,∃x1，使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，可得f′（x1）•f′（x1+）=1，可得（cosx1﹣sinx1）cosφ•（cos（x1+）﹣sin（x1+））cosφ=1，即为（cosx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣cosx1）cos2φ=1，即为（sin2x1﹣cos2x1）cos2φ=1，即有﹣cos2x1•cos2φ=1，可得cos2φ=1，cos2x1=﹣1，∴cosφ=±1．故答案为：±1． 三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{an}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）{an}是等差数列，设数列的公差为d，且a1=3，a4=12，则：，所以数列的通项公式为：an=3+3（n﹣1）=3n．数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列，设公比为q，则：，解得：q=2．所以数列的通项公式为：，整理得：．第23页共23页,（2）由于：，则：Sn=3（1+2+…+n）+（20+21+…+2n﹣1），=，=． 18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，则：=，所以：=．在△ABC中，利用正弦定理：，解得：=，（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，所以：，=，由于：0＜A＜120°，则：l△ABC==，=2+，=，由于：0＜A＜120°，则：30°＜A+30°＜150°，得到：，所以△ABC的周长的范围是：第23页共23页, 19．（12分）为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动．2015年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；2016年初，社区随机抽取了60名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查．已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：参与调查问卷次数[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）[10，12]参与调查问卷人数814814106附：P（k2＞k0）0.1000.0500.010k02.7063.8416.635K2=（1）若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成2×2列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？男女合计积极上网参政议政8不积极上网参政议政合计40（2）从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．【解答】解：（1）由题意知积极上网参政的有：8+14+10+6=38人，不积极上网参政的有8+14=22人，2×2列联表为：男女合计积极上网参政居民30838第23页共23页,不积极上网参政居民101222合计402060∴K2=≈7.03，∵7.03＞6.635，∴有99%的把握认为“上网参政与性别有关”．（2）选取男居民人数为6×=4人，选取女居民人数为6×，记4个男居民为A，B，C，D，2个女居民为甲，乙，从选取的6人中选出3人参加政府听证会，基本事件总数有20种，分别为：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，甲），（A，B，乙），（A，C，D），（A，C，甲），（A，C，乙），（A，D，甲），（A，D，乙），（A，甲，乙），（B，C，D），（B，C，甲），（B，C，乙），（B，D，甲），（B，D，乙），（B，甲，乙），（C，D，甲），（C，D，乙），（C，甲，乙），（D，甲，乙），选出的3人恰为2男1女的有12种，∴选出的3人恰为2男1女的概率为：p=． 20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣bx（a，b∈R）．（1）当a=1时，若∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若b=﹣3a2（a＞0）．若函数f（x）的极小值点和极大值点分别为x1，x2．①求f（x1），f（x2）；②当λ∈（0，1）时，求f（）的值域．【解答】解：（1）当a=1时，∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，⇔+x2﹣bx≤bx2+x⇔b≥（x＞0）．第23页共23页,令t=x+1＞1．∴b≥=﹣（t＞1）．∵t＞1，t+=2，当且仅当t=时取等号．∴﹣≤（t＞1）．∴b的最小值为：（t＞1）．（2）b=﹣3a2（a＞0）．f（x）=﹣x3+ax2+3a2x，f′（x）=﹣x2+2ax+3a2=﹣（x﹣3a）（x+a），令f′（x）=0，解得x=3a，或﹣a．∵a＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减；在（﹣a，3a）上单调递增；（3a，+∞）上单调递减．∴f（x）的极小值=f（﹣a）=﹣，f（x）的极大值=f（3a）=9a3．②由①可知：x1=﹣a，x2=3a．∴=x2+（x1﹣x2），λ∈（0，1），（x1﹣x2）∈（x1﹣x2，），故∈⊆（x1，x2）．由①可得：f（x）在（x1，x2）上单调递增，∴f（）的值域是=（f（﹣a），f（a））=． 21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=﹣ax2+lnx，得f′（x）=﹣2ax+=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得=﹣＜0，=＞0，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；第23页共23页,（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=﹣ax2+lnx+a=a（1﹣x2）+lnx＞0，满足题意；当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）max=f（1）=﹣a，﹣a＞﹣a不成立；当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，此时=，由，得1+ln2a＜2a，令g（a）=1+ln2a﹣2a，则g′（a）=，则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，∴0＜a＜．综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a． 请考生在22、23二题中任选一题作答．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．【解答】解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x第23页共23页,直线的参数方程，转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．（2）当m=0时，求得：A（2，），B（2，﹣），所以：=． 23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，可得m=1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c=3，取得等号． 第23页共23页
