四川省广元市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ）A．[﹣3，3）B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3）2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）A．若α⊥β，则m⊥nB．若α∥β，则m∥nC．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（），则k的值是（ ）A．﹣1B．或﹣1C．﹣1或D．5．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）A．4B．5C．6D．77．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，则其四维测度W=（ ）第22页共22页,A．2πr4B．3πr4C．4πr4D．6πr48．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象如图所示，，C为图象上的最高点，则ω，φ的值为（ ）A．B．ω=，φ=C．D．9．（5分）在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则（xi+yi）=（ ）A．8072B．6054C．4036D．201811．（5分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，则a的取值范围（ ）A．（1，2）B．C．D．12．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为（ ）A．B．C．D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+第22页共22页,1）i是纯虚数，则a= ．14．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为 ．15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 ．16．（5分）在△ABC中，AB=2AC=6，=2，点P是△ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时， ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log3an，求数列{}的前n项和Tn．18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[第22页共22页,50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．课外体育不达标课外体育达标合计男60 女 110合计 （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．附参考公式与：K2=P（K2≥k0）0.150.050.0250.0100.0050.001k02.7023.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2．（1）求证：BD⊥PA；（2）线段PC上是否存在点M，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的6倍．若存在，找出点M的位置；若不存在，说明理由．第22页共22页,21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）证明：． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1． 第22页共22页,四川省广元市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ）A．[﹣3，3）B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3）【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2，或x≥4}，N={x|﹣3≤x＜3}，∴M∩N={x|﹣3≤x≤﹣2}=[﹣3，﹣2]．故选：B． 2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【解答】解：当x＞3且y＞3时，x+y＞6成立，即充分性成立，若x=6，y=2满足x+y＞6，但x＞3且y＞3不成立，即必要性不成立，故“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的充分不必要条件，故选：A 3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）A．若α⊥β，则m⊥nB．若α∥β，则m∥nC．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；第22页共22页,对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D． 4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（），则k的值是（ ）A．﹣1B．或﹣1C．﹣1或D．【解答】解：∵向量=（3，1），=（2k﹣1，k），∴+=（2k+2，1+k），∵（+）⊥，∴（+）•=0，则（2k﹣1）（2k+2）+k（1+k）=0，即5k2+3k﹣2=0得（k﹣1）（5k+2）=0，得k=﹣1或k=，故选：C． 5．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，第22页共22页,故选：D． 6．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）A．4B．5C．6D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，k=0不满足条件n为偶数，执行循环体后，n=16，k=1，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=8，k=2，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=4，k=3，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=2，k=4，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=1，k=5，满足退出循环的条件，输出k的值为5．故选：B． 7．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，则其四维测度W=（ ）A．2πr4B．3πr4C．4πr4D．6πr4【解答】解：对于二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，（πr2）′=2πr，三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积），（）′=4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，∵（2πr4）′=8πr3，∴“超球”的四维测度W=2πr4，故选：A．第22页共22页, 8．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象如图所示，，C为图象上的最高点，则ω，φ的值为（ ）A．B．ω=，φ=C．D．【解答】解：根据函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象知，T=﹣（﹣）=，∴T==π，解得ω=2；又，∴sin[2×（﹣）+φ]=0，又0＜φ＜，∴φ=．故选：C． 9．（5分）在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则，平面区域是边长为2的正方形，x2+y2≥1的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，∴由几何概型概率计算公式得：第22页共22页,x2+y2≥1的概率为：p===1﹣．故选：A． 10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则（xi+yi）=（ ）A．8072B．6054C．4036D．2018【解答】解：∵g（x）的图象是由y=x3的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的，∴g（x）的图象关于点（1，1）对称，又f（x）的图象关于点（1，1）对称，∴f（x）与g（x）的2018个交点中，两两关于点（1，1）对称．∴（xi+yi）=+=+=4036．故选C． 第22页共22页,11．（5分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，则a的取值范围（ ）A．（1，2）B．C．D．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=t，则2t2﹣（2a+3）t+3a=0，∴t=a或t=．（1）若a≤1或a≥2时，则由图象可知f（x）=a只有一解x=0，而f（x）=有两解，故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有三个不同的零点，不符合题意；（2）若a=，由图象可知f（x）=a有三解，故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有三个不同的零点，不符合题意；（3）若1＜a＜或＜a＜2，则由图象可知f（x）=a有三解，f（x）=有两解，故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，符合题意；综上，a的范围是（1，）∪（，2）．故选D．第22页共22页, 12．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞1），1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，可得λ=，则a8+λa9=a8++=a8++=a8+﹣a8=，设t=q2﹣1（t＞0），q2=t+1，则设f（t）==，f′（t）==，当t＞时，f（t）递增；当0＜t＜时，f（t）递减．可得t=处，此时q=，f（t）取得最小值，且为．则a8+λa9的最小值为．故选C． 第22页共22页,二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a= 1 ．【解答】解：∵z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1． 14．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为 1 ．【解答】解：z的几何意义为区域内点到点G（0，﹣1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由解得，即A（2，1），则AG的斜率k=，故答案为：1 第22页共22页,15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 4π ．【解答】解：直观图如图所示的正四面体，构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，∴此三棱锥的外接球的半径为R=三棱锥的外接球的体积为V=．故答案为：4π． 16．（5分）在△ABC中，AB=2AC=6，=2，点P是△ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时， ﹣9 ．【解答】解：∵=2，||•||•cosB=||2，∴||•cosB=||=6，∴⊥，即∠A=，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，第22页共22页,则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），则222=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45，=3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]，∴当x=2，y=1时取的最小值，此时•=（2，1）•（﹣6，3）=﹣12+3=﹣9，故答案为：﹣9． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log3an，求数列{}的前n项和Tn．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．当n=3时，，解得，当n≥2时，=3n，由于：a1=S1=3也满足上式，则：．第22页共22页,（2）若，所以：=，所以：． 18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．=，∵，故：f（x）的最大值为：2．要使f（x）取最大值，，即：（k∈Z），解得：（k∈Z），则x的集合为：（k∈Z），（2）由题意，，即：，又∵0＜A＜π，∴，∴，∴．在△ABC中，b+c=2，，第22页共22页,由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣bc，由于：=1，所以：当b=c=1时，等号成立．则：a2≥4﹣1=3，即：．则a的最小值为． 19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90 女 90 20 110合计 150 50 200 （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．附参考公式与：K2=P（K2≥k0）0.150.050.0250.0100.0050.001k02.7023.8415.0246.6357.87910.828第22页共22页,【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200∴k2==≈6.060＜6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关（2）由题意在[0，10），[40，50）分别有20人，40人，则采取分层抽样在[0，10）抽取的人数为：人，在[40，50）抽取的人数为：人，[0，10）抽取的人为A，B，在[40，50）抽取的人为a，b，c，d，从这6任中随机抽取2人的情况为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”共有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，∴． 20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥第22页共22页,平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2．（1）求证：BD⊥PA；（2）线段PC上是否存在点M，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的6倍．若存在，找出点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：，∴AB2=AD2+BD2，∴BD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BD⊥面PAD，又AP⊂面PAD，∴BD⊥PA．（2）解：假设存在点M满足条件，设CM=mCP（m∈[0，1]），点P到面ABCD的距离为h1，点M到面ABCD的距离为h2，由相似三角形可知，，∴，∴点M是PC上的一个靠近点P的三等分点． 21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；第22页共22页,（2）证明：．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，∵函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，令g（x）=lnx﹣ax，则g′（x）=﹣a当a≤0时，由g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）内为增函数，显然不成立当a＞0时，由g′（x）＞0解得，即g（x）在内为增函数，内为减函数，故即可，解得综上可知a的取值范围为；（2）证明：由（1）知：当时，恒成立∴…上式n个式子相加得：即又∵∴，∴．第22页共22页, 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，得曲线C的普通方程：x2+y2﹣4x﹣12=0所以曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ=12（2）设A，B两点的极坐标方程分别为，|AB|=|ρ1﹣ρ2|又A，B在曲线C上，则ρ1，ρ2是ρ2﹣4ρcosθ﹣12=0的两根∴，所以： [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，第22页共22页,则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即[（a+b）+（b+c）]=1∴+=[（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立． 第22页共22页
