四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B=（1，3]，则A∩B=（ ）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3）D．（1，3）2．（5分）已知复数z1=3+i，z2=2﹣i．则z1﹣z2=（ ）A．1B．2C．1+2iD．1﹣2i3．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（ ）A．﹣2B．C．2D．44．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是（ ）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．先分层再简单随机抽样5．（5分）在△ABC中，•=，则△ABC是（ ）A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形6．（5分）已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（ ）第22页共22页,A．5B．6C．100D．1018．（5分）点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（ ）A．27﹣πB．12﹣3πpC．32﹣（﹣1）πD．12﹣πp10．（5分）将函数f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（ ）A．g（x）=cos（x﹣）B．g（x）=cos（x﹣）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）11．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为第22页共22页,的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（ ）A．8B．C．D．412．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（ ）A．2p2B．2pC．4pD．p 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）.13．（5分）式子（1+3）n展开式中，各项系数和为16，则xdx= ．14．（5分）已知x，y满足，则2x+y的最大值是 ．15．（5分）已知函数f（x）=mlnx﹣x（m∈R）有两个零点x1、x2（x1＜x2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x1、x2、e的大小关系是 （用“＜”连接）．16．（5分）在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=•．第22页共22页,（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．18．（12分）在数列{an}中，a1=1，当n＞1时，2an+anan﹣1﹣an﹣1=0，数列{an}的前n项和为Sn．求证：（1）数列{+1}是等比数列；（2）Sn＜2．19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x（万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取3人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量xξ的分布列和Eξ；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．参考公式及数据K2检验临界值表：K2=（其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828第22页共22页,20．（12分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD．EF是平面ABCD外的一条直线，△ADE是等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥EF∥DC，AB=2，EF=3，DC=AD=4．（1）求证：平面BCF⊥平面ABCD；（2）求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值． 第22页共22页,选修4-5不等式选讲23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：f（x）≥9． 第22页共22页,四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B=（1，3]，则A∩B=（ ）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3）D．（1，3）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B=（1，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B． 2．（5分）已知复数z1=3+i，z2=2﹣i．则z1﹣z2=（ ）A．1B．2C．1+2iD．1﹣2i【解答】解：∵z1=3+i，z2=2﹣i，∴z1﹣z2=（3+i）﹣（2﹣i）=1+2i．故选：C． 3．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（ ）A．﹣2B．C．2D．4【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则q3==8，解可得q=2；故选：C． 第22页共22页,4．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是（ ）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．先分层再简单随机抽样【解答】解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为20；则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样．故选：A． 5．（5分）在△ABC中，•=，则△ABC是（ ）A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形【解答】解：∵•=，∴•﹣=•（﹣）=•=0，∴⊥，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D 6．（5分）已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵命题p：2x＜2y，∴x＜y，∵命题q：log2x＜log2y，∴0＜x＜y，∴命题p是命题q的必要不充分条件．故选：B． 7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（ ）第22页共22页,A．5B．6C．100D．101【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件；故输出的n值为6，故选：B 8．（5分）点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【解答】解：根据题意，点P是双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=2，设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|﹣|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，第22页共22页,则c=，又由a=1，则双曲线的离心率e==；故选：C． 9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（ ）A．27﹣πB．12﹣3πpC．32﹣（﹣1）πD．12﹣πp【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体，挖去一个圆锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，2，3，体积为：12，圆锥的底面半径为1，高为3，体积为：π，故组合体的体积为：V=12﹣π，故选：D 10．（5分）将函数f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（ ）A．g（x）=cos（x﹣）B．g（x）=cos（x﹣）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）【解答】解：将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），第22页共22页,可得函数y=cos2x的图象；再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x﹣）]=cos（2x﹣）的图象；故选：D． 11．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（ ）A．8B．C．D．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，∴△PCB，△PCD，△PAC是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O∴OA=OB=OC=OP，O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，直径PC=2，设四棱锥的底面边长为a，PA=．△PAB面积S===3，当且仅当a2=12﹣a2，即a=时，△PAB面积最大，此时PA=，四棱锥P﹣ABCD的体积V==，故选：D， 第22页共22页,12．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（ ）A．2p2B．2pC．4pD．p【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点为任意的，不妨设直线AB为x=p，由，解得y=±2p，则A（﹣p，﹣p），B（p，p），∵直线BM的方程为y=x，直线AM的方程为y=﹣p，解得M（﹣p，﹣p），∴|ME|2=（2p）2+2p2=6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0，∴△=4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）=0，解得k=，∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p），由，解得N（p，2p），第22页共22页,∴|NE|2=4p2，∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2，故选：A 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）.13．（5分）式子（1+3）n展开式中，各项系数和为16，则xdx= ．【解答】解：令x=1，则展开式中各项系数和为An=（1+3）n=22n，由22n=16，则n=2，∴xdx=xdx=x2=[22﹣（﹣1）2]=，故答案为：． 14．（5分）已知x，y满足，则2x+y的最大值是 8 ．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（3，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+2=8．即目标函数z=2x+y的最大值为：8．故答案为：8．第22页共22页, 15．（5分）已知函数f（x）=mlnx﹣x（m∈R）有两个零点x1、x2（x1＜x2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x1、x2、e的大小关系是 x1＜e＜x2 （用“＜”连接）．【解答】解：∵函数f（x）=mlnx﹣x有两个零点，∴m≠0，由方程mlnx﹣x=0，得mlnx=x，即lnx=，若m＜0，两函数y=mlnx与y=的图象仅有一个交点，不合题意；若m＞0，设直线y=与曲线y=lnx相切于（x0，lnx0），则，∴切线方程为，把原点坐标（0，0）代入，可得﹣lnx0=﹣1，即x0=e．∵两函数y=mlnx与y=的图象有两个交点，两交点的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1＜e＜x2．故答案为：x1＜e＜x2． 16．（5分）在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是 （1，] ．第22页共22页,【解答】解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，由正弦定理可得====2，∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（﹣A）=2（cosA+sinA）=cosA+sinA，∴ac=2sinA（cosA+sinA）=sin2A+2sin2A=sin2A﹣cos2A+1=2sin（2A﹣）+1，∵0＜A＜，0＜﹣A＜∴＜A＜∴＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，∴2＜2sin（2A﹣）+1≤3，∴2＜ac≤3，∵•=accosB=ac，∴•的取值范围是（1，]故答案为：（1，] 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=•．（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．第22页共22页,【解答】解：（1）由f（x）=•=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的周期T=；（2）由f（A）=，即sin（2A﹣）=∵0＜A＜π，AB=c=2＞BC=a=2，∴A=正弦定理：，可得sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或．当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=2，当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=． 18．（12分）在数列{an}中，a1=1，当n＞1时，2an+anan﹣1﹣an﹣1=0，数列{an}的前n项和为Sn．求证：（1）数列{+1}是等比数列；（2）Sn＜2．【解答】证明：（1）数列{an}中，a1=1，当n＞1时，2an+anan﹣1﹣an﹣1=0，整理得：，转化为：，即：（常数）．则：数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，第22页共22页,则：，所以：（n=1符合），则：+…+=1+（1﹣）＜2． 19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x（万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取3人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量xξ的分布列和Eξ；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．参考公式及数据K2检验临界值表：K2=（其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828第22页共22页,【解答】解：（1）收入在（33，37]上的返乡创业人员有100×0.010×4=4人，在（37，41]上的返乡创业人员有100×0.005×4=2人，从这6人中随机抽取3人，收入在（37，41]上有ξ人，则ξ的可能取值为0，1，2；计算P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==；∴随机变量ξ的分布列为ξ012P（ξ）数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1；（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过17万元的人数是1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，由此填写2×2列联表如下；已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340260600个人年收入不超过17万元260140400总计6004001000计算K2=≈6.944＞6.635，所以有99%的把握认为该市这1000第22页共22页,人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关． 20．（12分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD．EF是平面ABCD外的一条直线，△ADE是等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥EF∥DC，AB=2，EF=3，DC=AD=4．（1）求证：平面BCF⊥平面ABCD；（2）求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AD的中点H，在等腰三角形ADE中有EH⊥AD．又平面ADE⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，连接GH，由于AB∥CD∥EF，且AB=2，CD=4，∴在梯形ABCD中，HG∥AB且HG=3，∴HG∥EF．又HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥EH且FG=EH，∴FG⊥平面ABCD．∵FG⊂平面BCF．∴平面BCF⊥平面ABCD；（2）解：如图，过G作MN平行AD，交DC于M，交AB延长线于点N，连接FM，则面FMG∥面ADE∴二面角C﹣FG﹣M等于平面ADE与平面BCF所成的锐二面角，∵，∴∠CGM为所求．∵AB=2，EF=3，DC=AD=4．HG=3∴MG=2，CM﹣1在Rt△CMG中，GM=2，CG=cos=．第22页共22页,∴平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为． 21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0）．f′（x）=﹣1=，令f′（x）=0，解得x=1．∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．（2）不等式f（x）≤x恒成立，即lnx﹣（a+1）x+a≤0恒成立，x∈（0，+∞）．令g（x）=lnx﹣（a+1）x+a，x∈（0，+∞）．g′（x）=﹣（a+1）．①a≤﹣1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．而g（e）=1﹣（a+1）e+a=（1﹣e）（1+a）≥0．可得x＞e时，g（x）＞0，不满足题意，舍去．②a＞﹣1时，g′（x）=，可得x=时，函数g（x）取得极大值即最大值．=﹣（a+1）×+第22页共22页,a=﹣ln（a+1）+a﹣1，令a+1=t＞0，h（t）=﹣lnt+t﹣2．h′（t）=﹣+1=，可得h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．h（3）=﹣ln3+1＜0，h（4）=﹣ln4+2＞0．∴（a+1）max∈（3，4），∴[a]=2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）直线l的方程为：（t为参数），转化为：x﹣y﹣1=0．曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，转化为：x2+y2﹣6x+1=0．（2）把直线l的方程：（t为参数），代入x2+y2﹣6x+1=0得到：，A点的参数为t1，B点的参数的为t2，第22页共22页,则：|MA|•|MB|=t1•t2=2． 选修4-5不等式选讲23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：f（x）≥9．【解答】解（1）f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则（a+b+c）（）=3+（）=9当且仅当a=b=c=时取等号．∴f（x）的最小值为9．（2）证明：f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则（a+b+c）（）=3+（）=9当且仅当a=b=c=时取等号．∴f（x）≥9． 第22页共22页
