河南省高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（ ）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ）A．B．C．D．2第25页共25页,5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（ ）A．﹣1.4B．﹣2.6C．﹣4.6D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A．2或﹣3B．3或﹣2C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）第25页共25页,A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+211．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第25页共25页,13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•= 14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3= ．15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，若S99=，则k= ．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．第25页共25页,18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）eax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第25页共25页,22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围． 第25页共25页,河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B． 2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（ ）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C． 3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．第25页共25页,已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D． 4．（5分）在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{an}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，第25页共25页,∴===．故选：A． 5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B． 6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（ ）第25页共25页,A．﹣1.4B．﹣2.6C．﹣4.6D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C． 7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D． 第25页共25页,8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A．2或﹣3B．3或﹣2C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A． 9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）第25页共25页,A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B． 10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第25页共25页,A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．SABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，∴S△PAD=，则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，第25页共25页,∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C． 12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，第25页共25页,当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B． 第25页共25页,二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•= ﹣4 【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4． 14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3= ﹣5 ．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5． 15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，若S99=，则k= 2 ．【解答】解：当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，第25页共25页,即为（k﹣Sn）（Sn﹣Sn﹣1）=﹣S，化为﹣=，可得=1+，可得Sn=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2． 16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为 2 ．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，第25页共25页,由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，第25页共25页,则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=． 18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．第25页共25页,X的分布列为随机变量X的概率分布列为：X1234P所以数学期望． 19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．第25页共25页,设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z1=1，得．同理，设平面BB1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=． 20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），第25页共25页,联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值． 21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）eax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1第25页共25页,）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）eax（a≠0）的导数f′（x）=eax+a（x+1）eax=（ax+a+1）eax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．第25页共25页,所以，对任意x1，x2∈（0，1），． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：第25页共25页,，所以当时，d的最小值为． [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分 第25页共25页
