南部中学2022-2022学年高二下期半期考试数学试题（理科A）考试时间：120分满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1.下列各数：,,,中虚数的个数是（）A．1B．2C．3D．42.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒3.计算（）A．B．C．D．4.用反证法证明命题：“关于方程最多有两个实数根”，下列假设中正确的是（ ）Ａ．只有两个实数根Ｂ．最少三个实数根Ｃ．至少有两个实数根Ｄ．少于三个实数根5.曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.6.设函数的导函数为，且，则的值为（）A．B．C．D．7.设函数,则（）A．为的极小值点B．为的极大值点C．为的极大值点D．为的极小值点8.在棱长为1的正方体—中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7\n第8题图9.已知，由不等式可以推出结论：=（）A．B．C．D．10.已知偶函数在上可导，且则曲线在处的切线的斜率为()A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）11.复数的虚部是；12.函数在=1处取得极值，则的值为；13.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，成立的等式是；第14题图14.如图，二面角，线段.，,，与所成的角为30°,点到平面的距离为，则二面角的大小是；15.下列结论：①如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直；②定义运算，复数z满足，则复数的模为；③向量，有；类比复数，有；④满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是椭圆。真命题的序号是.7\n高2022级高二下期半期考试数学试题（理科A）一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910选项BACBADDADA二、填空题（每小题5分，共25分）11、-112、-113、或14、15、②9.第3个式子：知猜想：选D.10.由，的周期为4，所以，在处的切线斜率等于在处的切线斜，又为偶函数，根据对称性，在处的切线斜率与在处的切线斜率相反，，故选A.三、解答题（本题六小题，共75分）16.(本小题满分12分)已知复数（为虚数单位）,把复数的共轭复数记作，若，求复数；16.解：………………………………………………（5分）DPMCBA………………………………………………（12分）17.(本小题满分12分)如图，,,。求证：（1）;(2).17.证明：（1）由，可知，……………………（4分）,故……………………（6分）（2）由，得;由，，得;7\n故，所以……………………（12分）18.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最小值；18.解：（1）…（4分）由得；由得；……………（6分）所以函数的单调增区间为（或），单调增区间为（或）。……………（8分）（2）由（1）可知，为在区间的极小值点，也是最小值点，故函数在区间上的最小值为……………（12分）19.(本小题满分12分)如图,四边形为矩形,且,,为的中点.(1)求点C到面PDE的距离;(2)求二面角的余弦值。19.(1)……………（6分）(2)……………（12分）第19题图几何法：连接，易得，而为直角三角形，故又，所以，，7\n又，由，设点C到面PDE的距离为，则，得（2）由（1）易得：，故，所以为二面角的平面角。又，,所以二面角的余弦值为坐标法：略20.(本小题满分13分)已知数列计算根据计算结果，猜想其前项和的表达式，并证明。20.解：；；；猜想：……………（3分）证明：（法一）数学归纳法：(1)当时，左边；右边；左边=右边，猜想成立；…（5分）(2)假设时，猜想成立，即………………（7分）那么，当时，=………………（9分）7\n===也成立。………………（12分）根据（1），（2）可知，（），得证。………………（13分）（法二）裂项相消：………………（6分）=………………（10分）===………………………………（12分）（）……………………（13分）21.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值，且（1）求与满足的关系式；（2）讨论函数的单调区间；（3）设函数，若存在，使得成立，求的取值范围．21.解：………………（2分）（1）由题意：则，………………（4分）（2）由（1）令得，．列表如下：x1+0−0+7\n↗↘↗所以单调递增区间为，；单调递减区间为．……（10分）（3）由（2）得在上单增，在上单减，在上的最大值为.因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为.即在上恒成立.若存在，，要使得成立，只需要，即，所以.又因为，所以的取值范围是．……………………………（14分）7
