杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为A．B．C．D．2.设，且对任意的，都有，则A.B.C.D.3.设函数，其导函数的图象如右图所示，则函数的减区间是A.B.C.D.4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确5.函数在处的切线方程是A．B．C．D．6.设，，，则的大小关系为A．B．C．D．7.若函数在区间单调递增，则m的取值范围为A．B．C．D．8.在的展开式中，的系数是A．B．C.D．9\n9.若函数满足，设，，则与的大小关系为A．B．C.D．10.某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.观察下列式子：,,,,……,则可以归纳出第个式子为12.在复平面内,复数1+i与2i分别对应向量和,其中为坐标原点,则向量所对应的复数是.13.已知二项式的各项系数和为，则的常数项为.14.已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.15.某农场有如图所示的2行3列共六块土地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种.要求每块土地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块土地，每行的蔬菜种类各不相同，则恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为.16.函数在区间上的最小值为.17.若对任意的，存在实数，使得关于的不等式恒成立，则t的取值范围是.9\n杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11．12．13．14．15.16.17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分8分）已知，函数.（Ⅰ）求的极值(用含的式子表示)；（Ⅱ）若的图象与轴有3个不同交点，求的取值范围.9\n19.（本题满分10分）（Ⅰ）设，求证：；（Ⅱ）设，求证：三数，，中至少有一个不小于2.9\n20.（本题满分12分）设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.9\n21.（本题满分12分）设函数.（Ⅰ）判断能否为函数的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若存在，使得定义在上的函数在处取得最大值，求实数的最大值.杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案AABAADADDC二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11．12．13．614．15.16.9\n17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）令，得：或-3.当或时，；当时，；故在区间，单调递增；在区间单调递减…………..3’于是的极大值，极小值为………………...1’（Ⅱ）令，………………………………………………………………3’得………………………………………………………………………1’19.（Ⅰ）证法一：要证：即证：即证：即证：由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证………………………………………….5’证法二：要证：即证：由基本不等式，可得上式成立，故原不等式得证.…………………..5’20.（Ⅰ）解：当n=1时，，得；，得9\n；，得.猜想………………………………………….2’证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.（ⅱ）假设当n=k时，……………………………………………………………………….1’则当n=k+1时，结合，解得……………………………………………………………………..2’于是对于一切的自然数，都有………………………………………………………1’（Ⅱ）证法一：因为，……………………………………3’…….3’证法二：数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，………………………………….1’（ⅱ）假设当n=k时，………………………………………………………………1’则当n=k+1时，要证：只需证：9\n由于所以………………………………………………………………3’于是对于一切的自然数，都有…………………………………………….1’21.（Ⅰ），令，得；………………………………2’当时，，于是在单调递增，在单调递减，在单调递增.故当时，是的极小值点………………………………………………………….2’（Ⅱ）.由题意，当时，恒成立………………………………………………………..2’易得，令，因为必然在端点处取得最大值，即………………………………………………………4’即，即，解得，，所以的最大值为…………………………………………………………………………………..2’9
