达州市2022年高中二年级春季期末检测数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将符合题目要求的番号填在答案卷的相应空格内.1．已知，为虚数单位，计算（A）.2.已知是自然对数的底数)，则函数的导数（C）.3.已知，a=，b=分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是（B）.平行垂直相交异面4.过函数图象上的点作该函数图象的切线，则这条切线方程是(D).5.如图，点是平行六面体的对角线与的交点，a，b，c，则（C）.abcabcabcabc6.如图，是正三角形，四边形是正方形，，是中点，面面，以直线为轴、以过点平行于的直线为轴、以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，为线段中点，则点的坐标是（B）.7.已知幂函数和椭圆8\n有8个不同的交点，分别为，点是椭圆的右焦点，则8条不同线段中所有两条线段之和最多有（B）个不同的值.282524208.已知二项式展开式中的常数项等于抛物线在处的切线（点为切点）的斜率，则展开式中系数最大的项的项数是（B）.3和4344和59.二名男生三名女生站成一排照相，女生有且只有两名相邻的不同站法种数是(D)2436487210.在满足的条件中随机选一对，使函数在区间上不单调的概率为（A）.二、填空题：每小题5分，共25分，请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内.11．已知，则.12.已知a=，b=，a∥b，则2或6．13.若函数有零点，则实数的取值范围是.14.如图，面面，，四边形是平行四边形，是中点，，则9.15.定义在上的可导函数的导数为，若当时，有，则称函数为上的平缓函数．下面给出四个结论：①是任何闭区间上的平缓函数；②是上的平缓函数；③若是上的平缓函数，则实数的取值范围是；④若是上的平缓函数，则有．8\n这些结论中正确的是①③④（多填、少填、错填均得零分）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)已知，是的导数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）求与单调性相同的区间．解（Ⅰ）∵，∴，由得，或，由得，．当变化时，变化情况如下表：＋－＋↗极大值↘极小值↗∴的极大值，的极小值．………6分（Ⅱ）设，∴，由得，，为增函数，由得，，为减函数．再结合（Ⅰ）可知：与的相同减区间为，相同的增区间是………12分17.(本题满分12分)某中学播音室电脑中储存有50首歌曲，其中校园歌曲5首，军旅歌曲5首，民乐10首，流行歌曲15首，民歌15首．每天下午放学时，播音室将自动随机播放其中一首．(Ⅰ)求一个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率；（Ⅱ）设这个中学一周5天播放民乐的天数为，求的数学期望．解(Ⅰ)设这个同学星期一和星期二听到的是流行歌曲分别为事件，他听到的都是流行音乐为事件，则与相互独立，，8\n由题意 ，∴．答：这个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率为．………………………………………6分（Ⅱ）由题意，学校某一天播放民乐的概率是，～，∴．…………………………………………12分18.(本题满分12分)(Ⅰ)求函数在点处的切方程；（Ⅱ）过点的直线交抛物线于两点，直线分别切该抛物线于，，求点的横坐标．解(Ⅰ)∵,∴,所以切线的斜率为.∴所求切线方程为,即.…………………………5分（Ⅱ）设直线的方程为，设，由方程组得，，∴．…………………………………7分因与异号，不妨假定，，由得，所以过点的抛物线的切线斜率为，所以切线的方程是，即8\n同理可求得以为切点的线方程是，由两切线方程得，解得所以点的横坐标是．…………………………………………12分19.(本题满分12分)已知，如图，平面平面，，．(Ⅰ)异面直线所成的角为，异面直线所成的角为，求证 ；（Ⅱ）求二面角的余弦值的绝对值．(Ⅰ)证明 设的中点为,，，∴，即，∴．∵平面平面，∴面.以过点垂直于的直线为轴，以直线为轴，以直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设．∴，∴，，∴，．∵，∴．…………………………………………6分（Ⅱ）解 设分别是平面、平面一个法向量，∴，即，8\n∴，不妨取，得．同理可求得，∴，所以二面角的余弦值的绝对值为．…………………………………………12分20．(本题满分13分)一人在如图所示景点中的圆环道路上散步.他在交叉路口偏左走的概率为,偏右走的概率为（出口处不算交叉路口）.(Ⅰ)求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率；（Ⅱ）这个人有3天散步路过的交叉路口都最少，表示这个人这3天中相同的线路次数，求的分布列和数学期．解：(Ⅰ)由图可知，此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4,共分:①入口向左向左向左向左出口,②入口向左向右向右向左出口,③入口向右向左向左向右出口,④入口向右向右向右向右出口,一共4条线路.设此人选择这4条线路分别为事件,设“此人遇到的交叉路口数为4”为事件,则互斥,且由题意,,∴.答:这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为.…………………………………………6分（Ⅱ）由题意，，…………………………………………7分，，，012∴的分布列为:8\n∴.…………………………………………13分21.（本题满分14分）已知 （是自然对数的底数），（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若只有一个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证．解：（Ⅰ）∵，∴，当时，，是单调递增，当时，，是单调递减．所以的递增区间是，递减区间是． …………………………………………3分（Ⅱ）①当时，有，∴，∴，∴，因此，等号在时成立．若，由在上递增知，存在唯一的，使得．又时，，所以当时，只有一个零点．……………………………………5分②由（Ⅰ）知，，所以时，只有一个零点．………………6分③当时，在上递增并结合（Ⅰ），存在一个，使得．若，设，则，∴时，，递减，时，，递增，∴．设，则，时，，递增，时，8\n，递减，∴，即且时，有．∴所以，在区间上存在一点使得，即．因为在上递减，所以存在唯一，使得，即．所以在有两个零点．综上所述，实数的取值范围是．…………………………10分（Ⅲ）设，，则且，∴∴ ∴．由（Ⅰ）知，∴，∴，∴，∴．…………………………………………14分8
