曲沃中学2022-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A＝{1,3,}，B＝{1，m},AB＝A,则m=()A.0或B.0或3C.1或D.1或32.若，则定义域为A.B.C.D.3．下列命题中是假命题的是()A．有零点B．函数f（x）=sin（2x+)都不是偶函数C．若的图象关于某点对称，那么使得是奇函数D．是幂函数，且在（0，+）上递减4.设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的( )A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )A．[2－，2＋]B.(2－，2＋)C.[1,3]D.(1,3)6.函数在区间上的零点个数为( )A．4B．5C．6D．77.函数的图象大致是（）6\n8.设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有之和为（）A． B．C．D．9．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确结论的序号是（）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)10.已知都是定义在R上的函数，且，，则的值为（）A．2B．C．D．11.定义在R上的函数满足：①是偶函数；②是奇函数，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为（ ）A.22B.24C.26D.2812．平面直角坐标系内，已知点，点在函数的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（ ）．A．B．C.D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为 ．14.设是定义在上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是。6\n15.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：①当时，；②函数有五个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立.其中，正确命题的序号是.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合A＝，B＝.（1）当＝2时，求AB；（2）求使BA的实数的取值范围.18.已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.19.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.20.设函数(1)求函数的单调区间;(2)当时，不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)关于的方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围.21.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x2－x＋a.6\n(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.22.设二次函数满足下列条件：①当∈R时，的最小值为0，且f(－1)=f(－－1)成立；②当∈(0,5)时，≤≤2+1恒成立。（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当∈时，就有成立1-5BABAA6-10CBCCB11-12BA13．214.(－1,)15.（-4,2）16.①④.17.解：（1）当＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴AB＝（4，5）.（2）∵B＝（，＋1），当＜时，A＝（3＋1，2）要使BA，必须，此时＝－1；当＝时，A＝，使BA的不存在；当＞时，A＝（2，3＋1）要使BA，必须，此时1≤≤3.综上可知，使BA的实数的取值范围为[1，3]∪{－1}18.(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0即m2－2m－3<0，∴－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.6\n(2)g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根.为使g(x)仅在x＝0处有极值，则有x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2].这时，g(0)＝－b是唯一极值，∴a∈[－2,2].19.(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0得x1＝，x2＝－(舍)，当0<x<时y′>0；<x<1时y′<0，∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.20.(1)函数定义域为,由得；由得则递增区间是递减区间是。(2)由（1）知,在上递减,在上递增.又.时,故时,不等式恒成立.(3)方程即.记,.由得由得在上递减,在上递增.为使在上恰好有两个相异的实根,只须6\n在[0，1）和（1，2]上各有一个实根,于是解得21.(1)∵g(x)＝(x－1)2＋，x∈[0,3]，当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝；当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝，故g(x)在[0,3]上的值域为[，].(2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增.①0<t<t＋2<，t无解；②0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f()＝－；③≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt；所以f(x)min＝.(3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到；设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.22.解：(1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=∴f(x)=(x+1)2(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤xf(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9t=-4时,对任意的x∈[1,9]恒有g(x)≤0,∴m的最大值为9.6
