东莞市2022-2022学年度第一学期期末教学质量检测高二理科数学（B卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、命题“若，则”的否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2、若，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3、在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则（）A．B．C．D．4、抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．5、已知等比数列，，，则（）A．B．C．D．6、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，焦距为，则它的方程为（）A．B．C．D．7、已知等差数列，，，则数列的前项和为（）A．B．C．D．8、设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．10第页共10页\n9、如右图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A．B．C．D．10、当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11、已知向量，，，若，则．12、不等式组表示的平面区域的面积是．13、已知等差数列，，公差，若，，成等比数列，则．14、已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是．（用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分12分）在中，，，分别是角，，的对边，且．求的面积；若，求角．10第页共10页\n16、（本小题满分12分）设命题实数满足，其中，命题实数满足．若，且为真，求实数的取值范围；若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．17、（本小题满分14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18、（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．求证：平面；若平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．10第页共10页\n19、（本小题满分14分）已知为数列的前项和，且有，（）．求数列的通项公式；若数列满足，其前项和为，求证：．20、（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，且椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．求椭圆的方程；求的值；求的最小值．10第页共10页\n东莞市2022-2022学年度第一学期期末教学质量检测高二理科数学（B卷）参考答案及评分标准一、选择题题号12345678910答案CBACCDABBD二、填空题11.12.13． １４．三、解答题15.解：（1）∵，∴，又，…………………………………3分∴.……………………………………6分（2）由，a=7，得c=5，…………………………………………………………………7分∴，∴，…………………………………………………………………9分∴……………………………10分又…………………………………………………………………11分∴.……………………………………………………………………12分16.解：(1)由得.……………………1分当时，，即为真命题时，实数的取值范围是……3分由得.所以为真时实数的取值范围是.…………………………5分若为真，则，所以实数的取值范围是．……6分(2)设，………………………8分10第页共10页\n是的充分不必要条件，则…………………………………10分所以，所以实数的取值范围是．………12分17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则……1分………①…………5分目标函数为，……………6分不等式组①等价于可行域如图所示，……………………………9分当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最小值.……………………………………………………10分解方程组得M的坐标，，……………………………………12分所以.………………………………13分答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元.………………………………………………………………………………14分18.解：（1）连接为四棱柱，又为的中点，,,10第页共10页\n为平行四边形………………4分又………………6分（2）方法一：作,连接则即为所求二面角………………8分在中，在中，,………………14分方法二：作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为10第页共10页\n显然平面的法向量为显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为………………14分19.解：(1)当时，；……1分当时，，两式相减得，，……2分又，……３分所以是首项为,公比为2的等比数列，……4分所以.……6分(2)由(1)知，所以，……７分所以，…８分两式相减得，所以(或写成或…１０分…１１分是递增的，又10第页共10页\n …１４分20．解：（1）法一：由椭圆的定义可知……1分由得……2分故椭圆的方程是；……3分法二：由已知得，，……1分得，……2分故椭圆的方程是；……3分（2）椭圆的右焦点为，分两种情况讨论如下：1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则CD:．此时，,；……5分2°当直线AB的斜率存在时，设AB:，则CD：．又设点．联立方程组10第页共10页\n消去并化简得，所以，……7分……8分由题知，直线的斜率为，同理可得……9分所以为定值.……10分(3)解：由（II）知，所以……11分，……12分当且仅当，即，即时取等号…13分所以的最小值为.……14分10第页共10页
