翠园中学2022-2022高二上学期期末考试数学理试题（考试时间：120分钟，满分：150）命题人:朱建国杨玉红一．选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分40分．1．复数，则（）A．B．C．D．2．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．B．C．D．3.已知命题P：，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．4.若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为（）A．B．C．D．5.已知集合,，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6..曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．7．已知点O为坐标原点，点、点，则下列各向量中是平面的一个法向量的是()（A）．(B)．(C)．(D)．8．已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则10\n点到轴的距离为()(A)(B)(C)(D)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．9．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是_______________。（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）10.已知正方体中，点是侧面的中心，若，则等于_______。11．观察下列等式:照此规律,第n个等式可为___________________________________________________.12.求值13．设抛物线的焦点为，准线为,为抛物线上一点，，为垂足。如果直线的斜率为，那么__________。14．做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为__________时，造价最低。三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）已知命题，命题。若命题“”是真命题，求实数的取值范围。16.（本题满分12分）已知函数在上满足10\n，当时取得极值－2。(1)的解析式。(2)求的单调区间和极大值。17．（本题满分14分）如图，在长方体中，，点为中点。CD1C1A1B1DABE（1）求直线与直线所成角的余弦值。（2）求二面角的大小。18.（本小题满分14分）首项为正数的数列满足（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围。10\n19．（本小题共14分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点的轨迹方程；(Ⅱ)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。20．（本题满分14分）已知函数是函数的极值点，直线是函数的图象在点处的切线。（I）求实数的值和直线的方程。（II）若直线与函数的图象相切于点，求实数的取值范围。翠园中学高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：BDBBACDB10\n二、填空题：9．演绎推理10．11．12．13．814．2：1三、解答题：15．解：设，则又，∴，即∴在递增由已知得，命题…………………………………………………6分由命题，有即…………………………………………8分又命题是真命题∴且成立，即……………………………………………11分故实数的取值范围是………………………………………………12分16．解：（1）由得：，∴,……………………………………………………2分由题设为的极值，必有∴∴解得∴所求的解析式为…………………………………………6分(2)由(1)知,10\n∴，从而…………8分当时,，则在上是增函数;当时,，则在上是减函数;当时,，则在上是增函数…………11分∴为极大值.…………12分17．解：（1）连接，由题意，-----------------------------------2分在长方体中，,为中点有又在等腰中，有----------------------6分故直线与所成角的余弦值为-----------------------------7分(2)连,由条件得,又CD1C1A1B1DABE在中，,∴又根据已知得，且∴平面,平面∴∴即为所求的角。-------------11分在△中，又为锐角，∴故二面角的大小为--------------------------------------14分10\n18．解：（I）18．解：（I）（1）已知是奇数，设（k为正整数）当时，（k为正整数）为奇数，结论得证。-------------------------------3分（2）假设（是奇数，其中为正整数）则由递推关系得是奇数。由（1）和（2）根据数学归纳法，对任何正整数，都是奇数。---------7分（II）（方法一）由知，当且仅当或。----------------------------9分另一方面，若则；若，则--------------------11分根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。--------14分（方法二）由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。19．解：（I）因为点与点关于原点对称，所以点的坐标为.----1分设点的坐标为10\n由题意得------------------------4分化简得.故动点的轨迹方程为------------------------------------7分（II）解法一：设点的坐标为，点，的坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是的面积----------10分又直线的方程为，，点到直线的距离.于是的面积当时，得-----------------12分又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为------------------------------------------14分10\n解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.20．解：（I）------------2分由已知，得-----------------------------------------4分所以时，函数的图象在点处的切线的方程为：--------------7分（II）直线与函数的图象相切于点，，所以切线的斜率为所以切线的方程为即的方程为：---------------------------------9分10\n于是可得所以其中----------------------11分记其中令，得当时,则在上是增函数;当时,则在上是减函数;所以实数的取值范围的集合：--------------------------14分10
