东莞市2022届高考数学模拟题（二）一.选择题:（本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．复数z＝2+i的共轭复数是()A．2+i B．2－i C．－1+i D．2．已知，则f(3)为（）A.2B．3C．4D．53．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A.3.5B.-3C.3D.-0.54．已知点的坐标满足条件则的最大值为（）A.B.8C.16D.105．在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积（）A．1B．C．D．26．等比数列的各项均为正数,且,则()A.12B.10C.8D.7．双曲线的焦距为（）A．B．C．D．8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．-11-二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)9．已知直线与平行，则___________10．已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是．第10题12．在曲线y=x3＋3x2＋6x＋10的切线中，斜率最小的切线方程是___________.13．若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是___选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为，则直线被曲线所截得的弦长为15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，∠ACE=40°，则∠P=_____-11-三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）17．（本题满分12分）某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。（1）请求出①②位置相应的数字，并补全频率分布直方图；（2）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（3）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为，求的分布列和数学期望．18．（本题满分14分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，点M在线段EC上（除端点外）-11-（1）当点M为EC中点时，求证：平面；（2）若平面与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积19.（本题满14分）设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且．（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前项和为，求证：．20．（本题满分14分）已知抛物线x2＝y的焦点为F（0，1），过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.（1）求此抛物线的方程；(2)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(3)设直线MF交该抛物线于C、D两点，求证：.21．（本题满分14分）已知函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②-11-是偶函数；③时，，其中.（Ⅰ）求在上的解析式;（Ⅱ）求证:当,时，函数的图象恒在直线y=e上方（其中为自然对数的底数，）.东莞市2022届高考数学模拟题（二）参考答案一、选择题1-8BABDBBCA二、填空题9.10.11.12.3x－y+9=013.[14.15.80°16．解：（1），；（2），，得，，，，17．解：（1）由题意知，组频率总和为，故第组频率为，即①处的数字为总的频数为因此第组的频数为即②处数字为频率分布直方图如下：-11-（2）第组共名学生，现抽取人，因此第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人.…………………7分公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取人，每个人被抽到的概率是相同的.（只写“公平”二字，不写理由，不给分）（3）的可能取值为的分布列为：…………………12分18．解：（1）证明取中点，连结在△中，分别为的中点，则∥，且由已知∥，，因此，∥，且所以，四边形为平行四边形于是，∥又因为平面，且平面，所以∥平面……………6分-11-（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合设，则，又，设，则，即设是平面的法向量，则,取，得，即得平面的一个法向量为…10分由题可知，是平面的一个法向量,因此，，即点为中点此时，，为三棱锥的高，所以，………14分19.解：（1）∵①，∴②，②-①，，∴，又∵等比数列，，∴，，∴，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴；（2）由（1）可得，∴，∴，即．20．解:(1)因为焦点为F（0，1）,所以,从而所求的抛物线方程为x2＝4y.-11-(2)证明：由已知显然直线AB的斜率k存在且不为0,则可设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得x2－4kx－4＝0，显然Δ＝16k2＋16>0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，由x2＝4y，得y＝x2，所以y′＝x,所以，直线AM的斜率为kAM＝x1,所以，直线AM的方程为y－y1＝x1(x－x1)，又＝4y1,所以，直线AM的方程为x1x＝2(y＋y1)①，同理，直线BM的方程为x2x＝2(y＋y2)②，②－①并据x1≠x2得点M的横坐标x＝，即A、M、B三点的横坐标成等差数列．(2)解：由①②易得y＝－1，所以点M的坐标为(2k，－1)(k≠0).所以kMF＝＝－，又因为直线AB的斜率为k,所以.21．解：（Ⅰ）任取，又f(x)是偶函数，故（Ⅱ）==此时…13分综上可知：当,的图象恒在直线y=e上方2022届高考数学模拟题答题卷一.选择题题号12345678答案二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答卷上）9、10、11、12、13、14、15、三、解答题(共6题80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本题满分12分)17、(本题满分12分)班级考号姓名试室号-11-18、(本题满分14分)-11-19、(14分)20、(本题满分14分)-11-21、（本小题满分14分）-11-
