东莞市2022届高三理科数学模拟试题(三)参考公式：·表示底面积，表示底面的高，柱体体积，，锥体体积．一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．学1．设全集，集合，，则等于A.B.C.D.2．复数（是虚数单位）的共轭复数为A.B.C.D.3．若函数则的值为A.B.C.D.4．已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则（）A.B.C.D.5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A.2B.C.D.36．已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．目标函数的最大值为（）A．B．C．D．7．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若②若③若④若-12-其中真命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①④8.若曲线在顶点的角的内部,、分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对点的“确界角”。已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．8．已知，，则的最小值为；9．二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答）DCBA10．如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．11．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于,，若是线段的中点，则椭圆的离心率为．12．对任意实数、，若的运算原理如下图所示，是函数的零点，是二次函数在上的最大值，则。-12-14.(坐标系和参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为____________．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，AB与CD是⊙O的直径，AB⊥CD，P是AB延长线上一点，连PC交⊙O于点E，连DE交AB于点F，若AB=2BP=4，则PF=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角所对边的长分别是，若，求的面积的值．17．（本小题满分12分）某校1位老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B.(1)求事件的概率和；(2)记在一次安排中，事件发生的总次数为求随机变量的数学期望18．（本小题满分14分）-12-四棱锥中，底面，且，，.(1)在侧棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论；(2)求证：平面平面；APBCDQ(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列中,数列中，其中（1）求证:数列是等差数列（2）设是数列的前n项和,求（3）设是数列的前n项和,求证:20．（本小题满分14分）已知椭圆过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求面积的最大值；-12-（3）若直线、、的斜率依次成等比数列，求直线的斜率．21．（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有东莞市2022届高三理科数学模拟试题(三)参考答案选择题：每小题5分，共40分.序号12345678答案DCBADABB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.310.－2011.12.;13.14.15.3三.解答题：[来源:www.shulihua.net]16.解:（1）∵，∴.……………………………...3分-12-由，解得.∴函数的单调递增区间是.……………………...6分（2）∵在中，，∴解得.……………………………...7分又，∴.……………………………..8分依据正弦定理，有.∴.……………………………...10分∴.……………………………..12分17..解：(1),……………………………………………………5分(2)的可能取值为0，1，2.................................................................................................7分与老师去同一城市)……………………………...9分同城，但a与老师不同)不同，a与老师同)………………………………………………...10分不同，a与老师也不同)……………………11分-12-所以………………………………………….12分18.(1)解：当为侧棱中点时，有平面.证明如下：如图，取的中点，连、.为中点，则为的中位线，∴且.且，∴且，∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面.…………4分(2)证：∵底面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为中点，∴.∵，∴平面.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.…………9分(3)解法一：设平面平面.∵平面，平面，∴.∵平面，∴平面，∴.-12-故就是平面与平面所成锐二面角的平面角.…………12分∵平面，∴.设，则，，故.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………14分解法二：如图建立直角坐标系，设，则,，则，.设平面的法向量为，则由，取.…………11分由平面，，知平面，∴平面的法向量为.…………12分设所求锐二面角的大小为，则.∴所求锐二面角的的余弦值为.…………14分-12-19.解:（1）,而,∴．∴{}是首项为,公差为1的等差数列……………………4分（2）由（1）可知,,……………………6分于是=……………………7分故有=6……………………9分（3）证明:由（1）可知,则则++,∴……………………14分20.解（1）由题意得,可设椭圆方程为则，解得所以椭圆的方程为．……………………4分-12-(2)消去得:，，则，……………………6分设为点到直线的距离,则，当且仅当时，等号成立所以面积的最大值为．……………………9分（3）消去得:，则，故……………………11分因为直线的斜率依次成等比数列，，，所以,由于故……………………14分21．解：（1）当时，，其定义域为…………………1分-12-因为，所以在上是增函数…………3分故当时，；当时，；当时，…………………4分（2）当时，，其定义域为，令得，…………6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为…………………7分又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点。所以或…………………9分（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，，即…………………12分令，则有从而得，，…………………13分故得-12-即所以…………………14分（3）方法二：用数学归纳法证明：①当时，不等式左边，右边因为，所以，即时，不等式成立…………………10分②假设当时，不等式成立，即那么，当时，……………11分由（1）的结论知，当时，，即所以…………………12分即即当时，不等式也成立…………………13分综合①②知，对于一切正整数，都有-12-
