2022年东莞市虎门中学高三年级第三次调研考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设，若复数（为虚数单位）的实部为1，则A．B．C．D．或2．已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为A．B．C．D．3．在中，，．若点满足，则A．B．C．D．4．已知水平放置时对应的图形为，如右图所示，其中，，若绕的边旋转一周，则所得几何体的体积为A．B．C．D．115．满足线性约束条件的目标函数的最优解是A．0或2B．2C．D．或6．在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为A．B．C．D．7．若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为A．B．C．D．8．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时，有A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集是．10．设等差数列的前项和为，若，则．11．某算法的程序框如右图所示，若输出结果为，则输入的实数的值是________．12．过曲线（）上横坐标为1的点的切线方程为．1113．已知展开式中，各项系数的和与其各项的二项式系数的和的比为，则．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设是直线上任一点，是圆上任一点，则的最小值是．15．（几何证明选讲）如图，割线经过圆心O，，绕点逆时针旋120°到，连交圆于点，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期和最大值及其相应的的集合；（2）用“五点法”作出函数在区间上的图象．17．（本小题满分12分）某电视台用“10分制”调查某社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，右边茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．1118．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，∥，，底面，且，是的中点.（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）在棱上是否存在点，使∥平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的极小值大于0，求的取值范围．20．（本小题满分14分）已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．（1）求动点的轨迹的方程；11（2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．21．（本小题满分14分）已知函数，数列{}满足，，设，数列{}的前n项和为．（1）求的值；（2）求数列{}的通项公式；（3）求证：．2022年东莞市虎门中学高三年级第三次调研考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CDABDADC二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．或；10．27．11．；12．；13．6；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）1114．；15．．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）解：（1）…………………………………3分∴函数的最小正周期；…………………………………4分当即时，函数有最大值为…………………………………7分（2）列表如下：………………10分∴函数在区间上的图象如下图所示：………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）众数:8.6；中位数:8.75………………………2分（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件,则………………………4分(3)的可能取值为0、1、2、3………………………6分11;;………………9分∴的分布列为:………………10分∴………………12分另解：的可能取值为0、1、2、3,∴的分布列为所以，=18．（本小题满分14分）解法一：（1）在直角梯形中，易证，又∵平面，平面∴，∴平面，∴，在中，为的中点，则在中，为的中点，则∴……………………………………………………4分取中点，中点，连，，则平行等于,平行等于，∴11∴是二面角的平面角………………………………………6分又∴，∴…………………………………………………8分（2）中点满足.连结交于点∵平行等于，∴取中点，连结，则平行…………………………………10分又平面，平面，∴平行平面，连，则∥，∴∥平面……12分又，∴平面∥平面，又平面，∴∥平面…………………………………………14分解法二：如图建立空间直角坐标系，则，，，，……1分∴，设平面的一个法向量由，取，则，，∴………4分又∵，∴是平面的一个法向量，…………………………………………………6分∴所求二面角的余弦值为………………………………………………8分（2）存在，且为中点……………………………………10分11设……………………………………………………………………12分依题意知，，∴，∴，即为中点………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：(1)当k=O时，f(x)=+1．f(x)的单调增区间为（-∞，0]，单调减区间为[0，+∞）…………………………2分肖k>0时，由f(x)=+1，得………………3分令f’(x)=0，得=0，且．………………4分f’(x)、f(x)随x的变化情况如下表：………………7分………………7分从上表可知：f(x)的单调增区间为(-∞，0]与，单调减区间为……8分综上所述当k=O时，f(x)的单调增区间为(-∞，O]，单调减区间为[0，+∞）；当k>O时，f(x)的单调增区间为（-∞，0]与，单调减区间为……10分(2)当k=O时，f(x)=+1不存在极小值；………………11分当k>O时，由(1)知函数f(x)的极小值为…………12分令，得k>2．所以七的取值范围是(2，+∞)．………………14分20．（本小题满分14分）11解：（1）设，，．∵是线段的中点，∴………2分∵分别是直线和上的点，∴和．∴…………4分又，∴．…………5分∴，∴动点的轨迹的方程为．…………6分（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．…………7分设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，…………9分∴，①．②………10分∵，∴．即∴．∵与轴不垂直，∴，∴，同理．………12分∴．将①②代入上式可得．…………14分21．（本小题满分14分）1111
