2022年广东省东莞市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2022•东莞二模）已知集合A={0，1，2}，集合B={x＞1}，则A∩B=（ ） A．{2}B．{0，1，2}C．{x|x＞2}D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据集合B中的不等式x＞1得到集合B中的元素都要大于1，而集合A中的元素只有2大于1，即可得到两集合的交集为{2}．解答：解：由集合A中的元素0，1，2，而集合B中的元素为x＞1的实数，则A∩B={2}．故选A．点评：此题考查学生理解交集的定义，掌握两集合没有公共元素时交集为空集，是一道基础题． 2．（5分）（2022•东莞二模）复数（1+2i）i（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意意义可得出．解答：解：∵（1+2i）i=i﹣2，∴对应的点为（﹣2，1）位于第二象限，故选B．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何的意义是解题的关键． 3．（5分）（2022•东莞二模）双曲线的渐近线方程为（ ） A．x=±1B．y=±2C．y=±2xD．x=±2y考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把等号右边的1换成0，即得双曲线的渐近线方程y=±2x，故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程． 4．（5分）（2022•东莞二模）已知p：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（ ） A．充要条件B．充分不必要条件13 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；充要条件．专题：常规题型．分析：当命题p成立时，利用两直线平行，斜率相等，能推出q成立；当q成立时，利用斜率相等，在纵轴上的截距不相等，能推出命题p成立．故p是q的充要条件．解答：解：当命题p成立时，直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，故两直线的斜率相等，∴a=﹣1．当q成立时，a=﹣1，直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，故命题p成立．综上，p是q的充要条件，故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，以及充分条件、必要条件、充要条件的定义． 5．（5分）（2022•东莞二模）已知，，，则向量在向量方向上的投影是（ ） A．﹣4B．4C．﹣2D．2考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：根据投影的定义应用公式求解．解答：解：根据投影的定义，可得向量在向量方向上的投影是：故选A．点评：本题主要考查向量的投影的概念，要熟练应用公式求解． 6．（5分）（2022•东莞二模）为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为（ ） A．240B．210C．180D．60考点：频率分布直方图．13专题：图表型．分析：利用样本的频率分布直方图的纵坐标乘以组距求出样本的频率；利用样本的频率代替总体的频率；再利用频数等于频率乘以总体的容量求出该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数．解答：解：由频率分布直方图得到体重在70～78kg的男生的频率为（0.02+0.01）×4=0.12∴该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数大约为0.12×1500=180．故选C．点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查利用样本的频率近似代替总体的频率、考查频数等于频率乘以容量． 7．（5分）（2022•东莞二模）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答：解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题． 8．（5分）（2022•东莞二模）已知数列{an}的前n项和，若它的第k项满足2＜ak＜5，则k=（ ） A．2B．3C．4D．5考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：先利用公式an=求出an=，再由第k项满足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：已知数列{an}的前n项和，n=1可得S1=a1=1﹣3=﹣2，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）]=2n﹣4，n=1满足an，∴an=2n﹣4，∵它的第k项满足2＜ak＜5，即2＜2k﹣4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=13的合理运用，属于基础题． 9．（5分）（2022•东莞二模）已知圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的面积为S，平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：由题意：“平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于”结合圆的对称性得，圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的圆心（a，0）在平面区域：2x+y＜4内即可，从而列出不等关系即可解得实数a的取值范围．解答：解：由题意得：圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的圆心（a，0）在平面区域：2x+y＜4内，则．故选C．点评：本小题主要考查简单线性规划的应用、直线与圆的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 10．（5分）（2022•东莞二模）定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x+3）=﹣；（2）对任意3≤x1＜x2≤6，都有f（x1）＜f（x2）；（3）y=f（x+3）的图象关于y轴对称．则下列结论中正确的是（ ） A．f（3）＜f（7）＜f（4.5）B．f（3）＜f（4.5）＜f（7）C．f（7）＜f（4.5）＜f（3）D．f（7）＜f（3）＜f（4.5）考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：先由f（x+3）=﹣，得函数周期为6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称，进而得到f（1）=f（5）；最后利用条件（2）得出结论．解答：解：因为f（x+3）=﹣，所以f（x+6）=﹣=﹣=f（x）；即函数周期为6，故f（7）=f（1）．又因为y=f（x+3）的图象关于y轴对称，所以y=f（x）的图象关于x=3轴对称．所以f（1）=f（5）．又对任意3≤x1＜x2≤6，都有f（x1）＜f（x2）；13所以f（3）＜f（4.5）＜f（5）=f（1）=f（7）．故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性，周期性与单调性的综合问题．解决本题的关键有两处：①由f（x+3）=﹣，得函数周期为6；②由y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．11．（5分）（2022•东莞二模）已知实数，x∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为 ．考点：几何概型；循环结构．专题：图表型．分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于47得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于47的概率．解答：解：设实数x∈[0，10]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥47得x≥5由几何概型得到输出的x不小于47的概率为P==故答案为：．点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律． 12．（5分）（2022•东莞二模）已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 6 ．13考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由已知中的三视图，我们可分析出几何体的形状及底面边长高等信息，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面，以2为高的四棱锥故这个几何体的体积V=Sh=•3×3×2=6故答案为：6点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 13．（5分）（2022•辽宁）已知函数f（x）=ex﹣2x+a有零点，则a的取值范围是 （﹣∞，2ln2﹣2] ．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题．分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．解答：解：f′（x）=ex﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解． 14．（5分）（2022•东莞二模）已知曲线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A，B，，则|AB|= ．考点：直线的参数方程；直线与圆相交的性质；圆的参数方程．专题：计算题．分析：把两曲线化为普通方程，分别得到直线与圆的方程，设出交点A与B的坐标，联立直线与圆的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，利用两点间的距离公式表示出|AB|，利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入即可求出值．解答：解：把曲线化为普通方程得：=，即4x﹣3y+5=0；把曲线化为普通方程得：x2+y2=4，13设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1﹣y2=（x1﹣x2），联立得：，消去y得：25x2+40x﹣11=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，则|AB|====2．故答案为：2点评：此题综合考查了直线与圆参数方程与普通方程的互化，直线与圆的综合，韦达定理及两点间的距离公式．此题难度比较大，要求学生熟练运用所学的知识解决数学问题． 15．（2022•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为 ．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2022•东莞二模）已知函数．（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2）在△ABC中，若，b=1，c=2，求a的值．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；余弦定理．专题：解三角形．13分析：（1）利用三角函数倍角公式和两角和的正弦公式可得=，由对称轴方程满足即可解出；再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．（2）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．解答：解：（1）=对称轴方程满足即，由得，（k∈Z），故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（2），则⇒，∴．又0＜A＜π，∴，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7，∴．点评：熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、对称轴方程、三角函数的单调性和余弦定理是解题的关键． 17．（12分）（2022•东莞二模）通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意 单位：名男女总计满意503080不满意102030总计6050110（I）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，闷样本中浦意与不满意的女游客各有多少名？（II）从（I）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；（III》很招以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）每个个体被抽取的概率为，根据分层抽样，即可得样本中满意的女游客，样本中不满意的女游客的人数；（II）确定从这5名游客中随机选取两名的等可能事件的个数，其中事件A“选到满意与不满意的女游客各一名”包含6个基本事件，即可求得概率；（III）由列联表，计算K2的值，根据P（K2＞6.635）=0.010，即可得到结论．13解答：解：（I）根据分层抽样可得，样本中满意的女游客有名，样本中不满意的女游客有名；（II）记样本中对景区的服务满意的3名女游客编号为1，2，3，对景区的服务不满意的2名游客编号为4，5，从这5名游客中随机选取两名，共有10个等可能事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）其中事件A“选到满意与不满意的女游客各一名”包含6个基本事件：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）所以所求的概率为P（A）==；（III）由列联表可得K2==≈7.486∵P（K2＞6.635）=0.010∴有99%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．点评：本题考查分层抽样，考查等可能事件概率的求法，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（14分）（2022•东莞二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD的体积．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．OD⊂平BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，13故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，∴．∴．点评：本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键． 19．（14分）（2022•东莞二模）设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求数列的前n项和Tn．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：（1）当n=1时，由a1=S1=2﹣a1，可求a1，n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=与an﹣1之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求an（2）由，可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求bn（3）由（1）（2）可求，利用错位相减求和即可求解解答：（本小题满分14分）证明：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1．…（1分）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1．∴．…（2分）∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即．…（4分）解：（2）b1=2a1=2．…（5分）∵，13∴，即．…（6分）∴是首项为，公差为1的等差数列．…（7分）∴，…（8分）（3）∵，则．…（9分）所以，…（10分）即，①…（11分）则，②…（12分）②﹣①得，…（13分）故．…（14分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式、等差数列与等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用 20．（14分）（2022•东莞二模）已知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx．（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得即可；（Ⅱ）先由题意，2ax2﹣2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得：，再设2ax2﹣2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．解答：解（Ⅰ）首先，x＞0f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax213﹣2x+1=0的△=0．由此可得（Ⅱ）由题意，2ax2﹣2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．解得：设2ax2﹣2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，因为在区间（0，x1），（x2，+∞）上，f′（x）＞0，而在区间（x1，x2）上，f′（x）＜0，故x2是f（x）的极小值点．因f（x）在区间（x1，x2）上f（x）是减函数，如能证明，则更有由韦达定理，，令，其中设，利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，∴g（t）=lnt﹣t+＜0，因此f（）＜﹣，从而有f（x）的极小值f（x2）＜﹣．点评：解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到． 21．（14分）（2022•东莞二模）如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求的最大值；②若，求l1与l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．13专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=，结合a2=b2+c2求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；（2）①因为两直线l1、l2相互垂直，所以点P到两直线的距离d1、d2的平方和可转化为P点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；②设出直线l1的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，分别写出向量的坐标，代入若中求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求．解答：解：（1）由题意知：，b=1．又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，联立，解得a=2，c=所以椭圆C的方程为．圆O的方程x2+y2=1；（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则，因为，所以=，因为﹣1≤y0≤1，所以当时，取得最大值为，此时点．②设l1的方程为y=kx+1，由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xA≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．13把A，C中的k置换成可得，所以，，由，得=，整理得：，即3k4﹣4k2﹣4=0，解得．所以l1的方程为，l2的方程为或l1的方程为，l2的方程为．点评：本题考查了圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．13
