广东省中山一中等六校2022届高三8月第一次联考数学理试题参考学校：仲元中学中山一中南海中学 潮阳一中宝安中学普宁二中本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第一部分（选择题满分40分）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．2．设U=R，集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3．如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（）A．2B．－2C．2,－2D．2,0,－24.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）正视图俯视图侧视图422A．①②B．①④C．②③D．③④5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为（）A．16B．16C．64+16D．16+6．已知实数，满足约束条件’则的取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]97．若等边的边长为，平面内一点满足，则()A.B.C．D．8．定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．第二部分（非选择题满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9~13题）9．已知数列的首项，若，，则．10．执行程序框图，如果输入，那么输出．否是开始输入结束输出11．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答)．12．如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率．13.设函数在（，+）内有意义．对于给定的正数k，已知函数，取函数=．若对任意的（，+），恒有=，则k的最小值为．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．914．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 ．第15题图15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设,,（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的集合；（2）若锐角满足，求的值．17．(本小题满分12分)某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学人数为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列．18．(本小题满分14分)如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为．9、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为．（1）求证：平面平面；（2）求直线与面所成角的正弦值．19．(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）．（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．21.(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；9(Ⅱ)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．参考答案一、选择题DCCCDDCB二、填空题9．，或；10．；11．30；12．；13．；14.15.30º16．解：（1）解：…………………1分…3分……4分最小正周期……5分当，即时，有最大值，此时，所求x的集合为．………7分（2）由得，故…9分又由得，故，解得．……11分从而．………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，9抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为．……………4分（2）设“从名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，…5分来自同一所中学的取法共有．……………6分∴．答：从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．…7分（3）由（1）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为．依题意得，的可能取值为，…………8分，，．……11分∴的分布列为：…12分18．（1）证明：DEAE，CEAE，，AE平面，……3分AE平面，平面平面．……5分（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系……6分DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，……7分，，，A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．……9分、分别是、的中点，F，G……10分=，=，……11分9由（1）知是平面的法向量，……12分设直线与面所成角，则，故求直线与面所成角的正弦值为．……14分（列式1分，计算1分）（方法二）作，与相交于，连接……6分由（1）知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角……7分是的中点，是的中位线，，……8分因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即=…9分在中，由余弦定理得，（或）……11分（列式1分，计算1分）平面，所以，在中，……13分所以直线与面所成角的正弦值为……14分19．解：（1）设椭圆的方程为，……1分离心率，右焦点为，，，……3分故椭圆的方程为．……4分（2）假设椭圆上存在点（），使得向量与共线，……5分，，（1）……6分又点（）在椭圆上，（2）……8分由（1）、（2）组成方程组解得：，或，……11分9当点的坐标为时，直线的方程为，当点的坐标为时，直线的方程为，故直线的方程为或．……14分20．解：（1）证明：当时，，解得．…………………1分当时，．即．…………………2分又为常数，且，∴．………………………3分∴数列是首项为1，公比为的等比数列．……………………4分（2）解：…5分∵，∴，即．…7分∴是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴，即．……………………………9分（3）解：由（2）知，则．所以，…10分即，①……11分则，②………12分②－①得，……………………13分故．……………………14分21.解：（1）依题意，知的定义域为，9当时，，………………2分令，解得因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值……………………4分（2），则有在上恒成立，∴≥，当时，取得最大值，所以≥……………8分(3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，，取最小值.……………10分则即所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分9
