仙村中学2022学年高二第二学期期末考试试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合的真子集的个数为A．6B．7C．8D．92．不等式的解集是A．B．C．D．3．函数的一个单调递增区间为A．B．C．D．4．设复数满足，则A．B．C．D．故选答案A5．已知向量，，若，则11\nA．B．C．1D．36．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份是闰年的为A．1996年B．1998年C．2022年D．2100年图17．已知，是平面，，是直线，给出下列命题①若，，则．②若，，，，则．③如果、n是异面直线，那么相交．④若，∥，且，则∥且∥．其中正确命题的个数是A．4B．3C．2D．111\n8．已知不等式组表示的平面区域为,则区域的面积为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．点到直线的距离为．10．不等式的解集是．解：由|x-1|＜4可得-4＜x-1＜4，解得--3＜x＜5，故不等式的解集为（--3，5），故答案为（-3，5）．11．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．11\n12．已知等比数列的前三项依次为，，，则．13．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标．14．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．11\n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）在△中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分得，…………………………………………………4分．……………………………………………………………………………6分（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分，………………………10分∵是的内角，∴．………………………………………………………12分方法2：∵，且是的内角，∴．………………………………………………………8分根据正弦定理，，……………………………………………………10分得．……………………………………………12分16．（本小题满分12分）已知射手甲射击一次，击中目标的概率是．（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；（2）假设甲连续2次未击中目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．（本小题主要考查独立重复试验等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则．11\n答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为．………………………………6分（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则．答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则．答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分图3ABCDEFGP17．（本小题满分14分）如图3所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．（1）求证：；（2）求二面角D－FG－E的余弦值．（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）（1）证法1：∵平面，平面，∴．又为正方形，∴．∵，∴平面．……………………………………………3分∵平面，∴．∵，∴．…………………………………………………………6分证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．…………………………………………………4分∵，∴．………………………………………6分xyzABCDEFGP（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11\n则，，，，，，．………………8分设平面DFG的法向量为，∵令，得是平面的一个法向量．…………………………10分设平面EFG的法向量为，∵令，得是平面的一个法向量．……………………………12分∵．……………………………13分设二面角的平面角为θ，则．所以二面角的余弦值为．………………………………………14分解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．………………………………8分xyzABCDEFGP过作的垂线，垂足为，∵三点共线，∴，∵，∴，即，解得．∴．………………………………………………10分再过作的垂线，垂足为，11\n∵三点共线，∴，∵，∴，即，解得．∴．……………………………………………12分∴．∵与所成的角就是二面角的平面角，所以二面角的余弦值为．………………………………………14分18．（本小题满分14分）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．（本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识，考查分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，………………………………1分其中，，则．………………………………………2分所以动点M的轨迹方程为．………………………………………………4分（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．……………………………………………7分 ∵，，∴． ∴．…………①…………………………9分11\n由方程组…………………………………………………10分得．…………………………………………………11分则，，代入①，得．即，解得，或．………………………………………………13分 所以，直线的方程是或．………………………………14分19．（本小题满分14分）设函数（1）求函数的极大值；（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围．（本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）∵，且，…………………………………1分当时，得；当时，得；∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和．…………………………………3分故当时，有极大值，其极大值为．…………………4分（2）∵，当时，，∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分∴．11\n∵，∴此时，．…………………………………………………………………………9分当时，．∵，∴即……11分此时，．……………………………………………………………13分综上可知，实数的取值范围为．…………………………………14分20．（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）解：（1）由已知，（，），…………………2分即（，），且．∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．……………………………………………………………………………4分（2）∵，∴，要使恒成立，∴恒成立，11\n∴恒成立，∴恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，…………………………………………7分当且仅当时，有最小值为1，∴．………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，………………………………………10分当且仅当时，有最大值，∴．……………………………………………………………………………12分即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．…………………14分11
