2022-2022学年广东省韶关市始兴县风度中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣i+=（ ） A．﹣2iB．iC．0D．2i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解答：解：复数﹣i+=﹣i+=﹣i+=﹣2i，故选A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：演绎推理的基本方法；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选A点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 3．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，用向量来表示向量（ ）9\n A．B．=++C．=+﹣D．=﹣﹣考点：向量在几何中的应用．专题：空间向量及应用．分析：利用相等向量、空间向量的多边形法则即可得出．解答：解：∵，，∴=，故选B．点评：熟练掌握相等向量、空间向量的多边形法则是解题的关键． 4．（5分）（2022•东莞市模拟）已知向量，，且，则实数x的值为（ ） A．B．﹣2C．2D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：因为向量，，且，所以根据向量垂直的坐标表示可得方程，进而解方程即可得到答案．解答：解：因为向量，，且，所以可得3x+6=0，∴x=﹣2，故选B．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握利用向量的坐标表示解决向量的夹角、求模、共线与垂直等问题，并且加以正确的计算． 5．（5分）已知向量，则与的夹角为（ ） A．0°B．45°C．90°D．180°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，0°≤θ≤180°可得θ=90°解答：解：设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，∵0°≤θ≤180°∴θ=90°故选C9\n点评：解决本题的关键需掌握：向量数量积的坐标表示，还要知道向量的夹角的范围[0，π]，只有数列掌握基础知识，才能在解题时灵活应用． 6．（5分）（2022•黑龙江）双曲线的渐近线方程是（ ） A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．解答：解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力． 7．（5分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（ ） A．B．C．D．4考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出．解答：解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣，0）所以点P的坐标为（﹣，），所以=．根据椭圆的定义可得，所以．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义． 8．（5分）（2022•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A．3B．2C．1D．9\n考点：导数的几何意义．分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2022•湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．解答：解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力． 10．（5分）若对任意x∈R，f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则f（x）= x4﹣2 ．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：通过导函数的解析式求出原函数的解析式的通项，再利用f（1）=﹣1求出解析式．解答：解：∵f′（x）=4x3∴f（x）=x4+c而f（1）=﹣1，则c=﹣2，故答案为x4﹣2．点评：本题考查了导数的运算，已知导函数求原函数解析式，逆向求解的方法，本题属于基础题． 11．（5分）（2022•深圳一模）若（ax﹣）8的展开式中x2项的系数为70，则a的值为 ±1 ．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出含x2的系数，列出方程解得．解答：解：展开式的通项为=9\n令得r=4故展开式中x2项的系数为a4C84=70解得a=±1故答案为a=±1点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 12．（5分）（2022•广州一模）dx= sin1 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用积分基本定理即可直接求解解答：解：dx==sin1故答案为：sin1点评：本题主要考查了积分基本定理的简单应用，属于基础试题 13．（5分）从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是 18 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：先排个位有种方法；再排百位有种方法；最后排十位有种方法，由分步计数原理相乘可得结果．解答：解：从1，3中取一个排个位，故排个位有=2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有=3种方法；排十位有=3种方法．故所求奇数个数有2×3×3=18个．故答案为：18点评：本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法，属中档题． 14．（5分）（2022•广州一模）已知经过同一点的n（n∈N*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线．若这n个平面将空间分成f（n）个部分，则f（3）= 8 ，f（n）= n2﹣n+2 ．考点：类比推理．专题：探究型．分析：两个平面把空间分成4个部分，增加一平面，与前两个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面有两条交线，两条交线把第三个平面分成两个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，则三个平面把空间分成8个部分，即f（3）=8=32﹣3+2；类比此结论可得过同一点且不经过同一直线的n个平面把空间分成n2﹣n+2个部分．解答：解：因为两个相交平面把空间分成四个部分，若第三个平面和前两相交平面经过同一点，且三个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面的交线相交，这样能把空间分成8个部分，即f（3）=8=32﹣3+2；有n个面时，再添加1个面，与其它的n个面有n条交线，n条交线将此平面分成2n个部分，9\n每一部分将其所在空间一分为二，则f（n+1）=f（n）+2n．利用叠加法，则f（n）﹣f（1）=[2+4+6+…+2（n﹣1）]=∴f（n）=n2﹣n+2．故答案为8，n2﹣n+2．点评：本题考查了类比推理，类比推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，此题是基础题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且，求．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量垂直、共线的充要条件可得方程组，解出x，y，得到向量，，利用求模公式可得．解答：解：由，得2x﹣4=0且2y+4=0，解得x=2，y=﹣2，即，所以，||=．点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示、模的求解，考查向量共线、垂直的充要条件，熟记相关公式是解决问题的关键． 16．（12分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，求椭圆C1的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆C1的方程为（a＞b＞0），代入点A的坐标可得一方程，再与a2=b2+4联立可解得a，b．解答：解：设椭圆C1的方程为（a＞b＞0），依题意：，解得：，9\n∴椭圆C1的方程为．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题． 17．（14分）如图，P是抛物线C：y=x2上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．当点P的横坐标为2时，求直线l的方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程．解答：解：把x=2代入y=x2，得y=2，∴点P坐标为（2，2）．…（3分）由y=x2，①得y'=x，∴过点P的切线的斜率k=2，…（8分）直线l的斜率k1=﹣=﹣…（10分）∴直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+2y﹣6=0…（14分）点评：本题考查利用导数研究抛物线切线的方程，属于基础题． 18．（14分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求函数的导函数，然后根据1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．9\n（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于中档题． 19．（14分）（2000•天津）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求，＞的值；（3）求证A1B⊥C1M．考点：点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式；异面直线及其所成的角．分析：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；（2）分别求出向量，的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到，＞的值；（3）我们求出向量，的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A1B⊥C1M解答：解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴（2分）（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．∴，，，，（5分）∴cos＜（9分）（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M=（﹣1，1，﹣2），=，9\n∴=，∴（12分）点评：本小题主要考查空间向量及运算的基本知识，空间中点、线、面的距离计算，空间两点间距离公式，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，确定各点坐标，及直线方向向量的坐标是解答本题的关键． 20．（14分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．分析：（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．解答：解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：9\n所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．9
