广州市第六中学2022—2022学年第二学期期末学业水平测试高一数学期末考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝sin2x＋cos2x是( )A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为2π的增函数D．周期为2π的减函数2．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，x)，若a⊥b，则实数x的值为( )A．9B.－9C．1D．－13．已知{an}是等差数列，前n项和为Sn，a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，则n的最小值为( )A．60B．62C．70D．724．设|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°5．若实数x，y满足则的取值范围是( )A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)6．已知角θ的终边与单位圆交于点P－，，则cos(π－θ)的值为( )A．－B．－C.D.7．已知数列{an}是等比数列，且an>0，公比q≠1，则a1＋a8与a4＋a5的大小关系是( )A．a1＋a8>a4＋a5 B．a1＋a8≥a4＋a5C．a1＋a8<a4＋a5 D．a1＋a8≤a4＋a58．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，时，f(x)＝sinx，则f的值为( )A．－B.－C.D.9．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )A.B.C.或D．－10．下列结论中正确的是( )A．若ac>bc，则a>bB．若a8>b8，则a>bC．若a>b，c<0，则ac<bc D．若<，则a>b二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)11．已知α∈，π，且sinα＝，则tanα的值为____________．12．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于_________．13．不等式(x＋1)2(x－1)<0的解集为__________．4\n14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.15．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0,0<φ<的周期为π，其图象上一个最高点为M，2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，时，求f(x)的最值及相应x的值．17．(本题满分14分)集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．(1)若|a|＝|b|，且a与b不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)；(2)若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f＝，求f()·.18．(本题满分14分)已知向量a＝－，，＝a－b，＝a＋b，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求向量b；(2)求△AOB的面积．19．(本题满分14分)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若釆用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若釆用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产100千克．若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？20．(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，设an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝bn＋2.(1)求an，bn；(2)若数列{bn}的前n项和为Bn，比较＋＋…＋与2的大小；(3)令Tn＝＋＋…＋，是否存在正整数M，使得Tn<M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．广州市第六中学2022—2022学年第二学期期末学业水平测试4\n高一数学期末考试参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)ADBCCCACBC二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)11．【答案】－12．【答案】413．【答案】{x|x<1且x≠－1} 14．【答案】 15．【答案】 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本题满分12分)(1)∵周期T＝π，∴＝π，即ω＝2.又f(x)图象的最高点为M，2，∴A＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．将点M，2代入，得sin＋φ＝1，∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin2x＋.(2)∵x∈0，，∴2x＋∈，.∴当2x＋＝，即x＝0时，ymin＝1；当2x＋＝，即x＝时，ymax＝2.17．(本题满分14分)(1)证明：由题意有[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝(λa－λb)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝0.∵f(a)－f(b)≠0，a＋b≠0，∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)．(2)＝(2,4)，＝(1,2)，∴f()＝λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.又＝(3,6)，∴f()·＝2(3,6)·(2,4)＝60.18．(本题满分14分)(1)∵OA＝OB，∴a2＝b2，即|a|＝|b|＝1，∴||＝|－|＝|2b|＝2，∴|a－b|＝|a＋b|＝，∴a⊥b.设b＝(x，y)，则解得或∴b＝，或b＝－，－.(2)S△AOB＝×()2＝1.19．(本题满分14分)设工厂每日需用甲原料x吨，乙原料y吨，可生产产品z千克．则即画出可行域，如图所示．4\n目标函数z＝90x＋100y(千克)．当直线z＝90x＋100y过直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20交点A时，z取得最大值，即zmax＝90·＋100·＝440(千克)．工厂每日最多生产440千克产品．20．(本题满分14分)(1)由题意2an＝Sn＋2，∴Sn＝2an－2，Sn＋1＝2an＋1－2，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又2a1＝S1＋2＝a1＋2，∴a1＝2，∴an＝2n.∵b1＝1，bn＋1＝bn＋2，∴bn＝2n－1.(2)Bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.(3)Tn＝＋＋…＋，∴Tn＝＋＋…＋，两式相减，得Tn＝＋2－＝＋2×－,∴Tn＝3－－<3.又T1＝，Tn单调递增，∴Tn∈.∴M的最小值为3.4
