2022年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2022•广州二模）命题“∃x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是（ ） A．∃x∈R，x2+4x+5＞0B．∃x∈R，x2+4x+5≤0C．∀x∈R，x2+4x+5＞0D．∀x∈R，x2+4x+5≤0考点：特称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论．解答：解：将量词否定，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是：“∀x∈R，x2+4x+5＞0”故选C．点评：本题重点考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定规则，属于基础题． 2．（5分）（2022•广州二模）如果函数f（x）=ln（﹣2x+a）的定义域为（﹣∞，1），则实数a的值为（ ） A．﹣2B．﹣1C．1D．2考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式求得函数的定义域为（﹣∞，），而由已知可得函数的定义域为（﹣∞，1），故有=1，由此解得a的值．解答：解：由函数f（x）=ln（﹣2x+a），可得﹣2x+a＞0，x＜，故函数的定义域为（﹣∞，）．而由已知可得函数的定义域为（﹣∞，1），故有=1，解得a=2，故选D．点评：本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题． 3．（5分）（2022•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（ ） A．|•|=||||B．|+|=||+丨丨C．（•）=（•）D．•=||2考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积运算公式可判断A、D的正确性；根据向量加法的运算法则判断B是否正确；根据向量的数乘运算是向量，来判断C是否正确．解答：解：∵=||||cos，∴||≤||||，∴A错误；13根据向量加法的平行四边形法则，|+|≤||+||，只有当，同向时取“=”，∴B错误；∵（）是向量，其方向与向量相同，（）与向量的方向相同，∴C错误；∵=||||cos0=，∴D正确．故选D点评：本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义． 4．（5分）（2022•广州二模）直线y=k（x+1）与圆（x+1）2+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的值为（ ） A．2B．1C．D．与k有关的数值考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由圆的方程求出圆心和半径，再由直线y=k（x+1）恰好经过圆心，可得弦长即为圆的直径，从而求得弦长．解答：解：由于圆（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径等于1．而直线y=k（x+1）恰好经过圆心，且与圆（x+1）2+y2=1相交于A，B两点，则弦|AB|的值等于圆的直径2，故选A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，直线经过定点问题，属于中档题． 5．（5分）（2022•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，则p+q=（ ） A．﹣3B．﹣1C．1D．3考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出．解答：解：∵1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，∴1+i是此方程的另一个解．根据根与系数的关系可得，解得，∴p+q=﹣1+2=1．故选C．点评：熟练掌握实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系是解题的关键． 6．（5分）（2022•广州二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）13（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”） A．225B．196C．169D．144考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+3+5+…+27的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+3+5+…+27又∵1+3+5+…+27=196故选B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 7．（5分）（2022•广州二模）若函数y=cosωx（ω∈N）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为（ ） A．2B．3C．6D．9考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，ω•=kπ+，k∈z，由此求得ω的最小值．解答：解：若函数y=cosωx（ω∈N）的一个对称中心是（，0），则ω•=kπ+，k∈z，∴ω=6k+3，k∈z，则ω的最小正值为3，故选B．点评：本题主要考查由函数y=Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Acos（ωx+φ）的对称中心，属于中档题． 8．（5分）（2022•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为． A．B．πC．D．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．13分析：几何体中，体积比是相似比的立方，面积比是相似比的平方，直接求解即可．解答：解：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为3，利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，=，所以r=，截面的面积为=．故选C．点评：本题是基础题，考查几何体的体积比与相似比的关系，常用此法简化解题过程，同学注意掌握应用． 9．（5分）（2022•广州二模）已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logax．logay=1，那么xy的取值范围为（ ） A．（0，a2]B．（0，a]C．（0，]D．（0，]考点：基本不等式．分析：由已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，利用对数函数的单调性可得logax＞0，logay＞0，再利用基本不等式的性质logax+logay=loga（xy）≥即可得出解答：解：∵0＜a＜1，0＜x≤y＜1，∴logax＞0，logay＞0，∴logax+logay=loga（xy）≥=2，当且仅当logax=logay=1时取等号．∴0＜xy≤a2．故选A．点评：熟练掌握对数函数的单调性、基本不等式的性质是解题的关键． 10．（5分）（2022•广州二模）某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，R至少需要选择l个模块，具体模块选择的情况如下表：模块模块选择的学生人数模块模块选择的学生人数A28A与B11B26A与C12C26B与C13则三个模块都选择的学生人数是（ ） A．7B．6C．5D．4考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：根据已知条件设三个模块都选择的学生人数是x，结合card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（C∩A）+card（A∩B∩C），构造关于x的方程，解出x值后，进而可得三个模块都选择的学生人数．解答：解：设A={选修A的学生}，B={选修B的学生}，C={选修C的学生}13则A∪B∪C={高三（1）班全体学生}，A∩B∩C={三个模块都选择的学生}设Card（A∩B∩C）=x，由题意知card（A∪B∪C）=50，Card（A）=28，Card（B）=26，Card（C）=26，Card（A∩B）=11，Card（A∩C）=12，Card（B∩C）=13，∵card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（C∩A）+card（A∩B∩C），∴50=28+26+26﹣11﹣12﹣13+x解得x=6故选B．点评：本题以“Venn图表达集合的关系及运算”为载体，考查了集合元素个数关系公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（C∩A）+card（A∩B∩C），其中正确理解集合之间的关系，是解答的关键． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）（2022•广州二模）如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M（图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S==2阴影部分的面积点P落在区域M内的概率为P==故答案为：1﹣点评：本题考查几何概型，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答． 12．（5分）（2022•广州二模）已知α为锐角，且，则sinα= ．考点：两角和与差的余弦函数．13专题：三角函数的求值．分析：由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 13．（5分）（2022•广州二模）数列{an}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k﹣1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S20= 36 ；S2022= 3981 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由f（k）=2k﹣1，可确定数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，分组：第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2k，确定所要求解的和中2与1的项数即可求解解答：解：设f（k）=2k﹣1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…∴前20项中共有16个24个1s20=1×4+2×16=36记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2kb1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n（n+1）＜2022，而46×45=2080＜2022，47×46=2162＞2022故n=45即前2022项中有45个1以及1968个2，所以S2022=45+1968×2=3981故答案为：36，3981点评：本题主要考查了数列的求和公式的应用，解题的关键是结合已知确定数列的项的特点． 14．（5分）（2022•广州二模）（几何证明选讲选做题）在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交BC于点F，则的值为 ．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用平行线分线段成比例定理即可得出，，再利用已知条件即可得出．解答：解：如图所示，过点B作BM∥AC交BF的延长线于点M．13则=，∴==．故答案为．点评：正确作出辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 15．（2022•广州二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．解答：解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：．点评：本小题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、抛物线的简单性质，解题的关键是抛物线的定义解题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.1316．（12分）（2022•广州二模）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4，4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）把高三（1）班这8个学生的视力值相加，再除以8，即得学生视力的平均值．（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有种，用列举法求得抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有10种，由此求得抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解答：解：（1）高三（1）班学生视力的平均值为=4.7，故用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值为4.7．（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有=15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有（4.3，4.4）、（4.3，4.5）、（4.4，4.5）、（4.4，4.6）、（4.5，4.6）、（4.5，4.7）、（4.6，4.7）、（4.6，4.8）、（4.7，4.8）、（4.7，4.8），共有10个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为=．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题． 17．（12分）（2022•广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．（1）求∠BAC的大小；（2）求点O到直线BC的距离．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，由余弦定理求得cosA的值，即可求得A的值．（2）过点O作OD⊥BC，D为垂足，则OD即为所求．由O为△ABC的外心，可得∠BOC=120°，故∠BOD=60°，且D为BC的中点，BD=35．在Rt△BOD中，根据tan∠BOD=tan60°=，求得OD的值．解答：解：（1）△ABC中，由于AB=80m，BC=70m，CA=50m，由余弦定理可得13cosA===，故有A=60°，即∠BAC=60°．（2）过点O作OD⊥BC，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD．由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为△ABC的外心．由∠BAC=60°可得∠BOC=120°，故∠BOD=60°，且D为BC的中点，BD=35．Rt△BOD中，tan∠BOD=tan60°===，解得OD=．即O到直线BC的距离点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题． 18．（14分）（2022•广州二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC丄平面PAC（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，求BC的长．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可；（2）根据棱锥的体积公式，构造函数，通过求函数的最大值，求得三棱锥的体积的最大值及最大值时的条件．解答：解：（1）证明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，设BC=x（0＜x＜2），AC===，VP﹣ABC=×S△ABC×PA=x=13≤×=．当且仅当x=时，取“=”，故三棱锥P﹣ABC的体积最大为，此时BC=．点评：本题考查面面垂直的判定及三棱锥的体积． 19．（14分）（2022•广州二模）在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{}的前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、SntSn成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（2）利用裂项法可求得Sn=，假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、Sm、Sn成等比数列，可求得n=，从而得1＜m＜1+＜3，由m∈N*，可求得m=2，继而可求得n．解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为，即…2解得…3∴an=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2∴数列{an}的通项公式为an=3n﹣2（n∈N*）…4（2）∵==（﹣）…5∴数列{}的前n项和Sn=++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）13=（1﹣）=…7假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、Sm、Sn成等比数列，则=S1•Sn…8即=×…9∴n=，因为n＞0，所以﹣3m2+6m+1＞0，即3m2﹣6m﹣1＜0，因为m＞1，所以1＜m＜1+＜3，因为m∈N*，所以m=2…12∴存在满意的正整数m=2，n=16，且只有一组解，即数m=2，n=16．点评：本题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，属于难题． 20．（14分）（2022•广州二模）已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈且a≠0）．（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，从而得出实数a的取值范围．（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，2]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．解答：解：（1）f′（x）=2x﹣2×=，若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，即只要a≤0，又a≠0，实数a的取值范围（﹣∞，0）．（2）f′（x）=，①当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增，∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1②当a＞0时，f′（x）==，函数f（x）在区间（0，）上为减函数，在区间（，+∞）上为增函数．（i）当≤1时，即0＜a≤1时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1，（ii）当1＜≤2即1＜a＜4时，函数在[1，]上递减，在[，2]上递增；13所以当x=时f（x）有最小值，并且最小值为a﹣aln；（iii）当＞2即4＜a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为4﹣2aln2．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题． 21．（14分）（2022•广州二模）经过点F（0，1）且与直线y=﹣1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．（1）求轨迹M的方程；（2）证明：∠BAD=∠CAD；（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设出动圆的圆心坐标，利用动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=﹣1相切，列出方程化简即可得到所求轨迹方程．（2）由（1）得y=x2，设D（x0，），由导数的几何意义，得直线l的斜率，又A（﹣x0，），设C（x1，），B（x2，）．利用斜率公式得到x1+x2=2x0．从而有kAB=﹣kBC，即可证得∠BAD=∠CAD．（3）根据条件：点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，将直线AB的方程与x2=﹣4y联立方程组，解得B点的坐标，求出|AB|，|AC|，最后根据△ABC的面积列出方程，解得x0=±3，从而得出直线BC的方程．解答：解：（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=﹣1相切，所以=|y+1|，即（y﹣1）2+x2=（y+1）2，即x2=4y．故轨迹M的方程为x2=4y．（2）由（1）得y=x2，∴y′=x，设D（x0，），由导数的几何意义得直线l的斜率为kBC=，则A（﹣x0，），设C（x1，），B（x2，）．则kBC===x0，∴x1+x2=2x0．kAC==，kAB=，∴kBC+AB=+==0，∴kAB=﹣kBC．13∴∠BAD=∠CAD．（3）点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，不妨设C在AD上方，即x2＜x1，直线AB的方程为：y﹣=﹣（x+x0），与x2=﹣4y联立方程组，解得B点的坐标为（x0﹣4，），∴|AB|=|x0﹣4﹣（﹣x0）|=2|x0﹣2|由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x0+2|．∴△ABC的面积为×|x0+2|×2|x0﹣2|=20．解得x0=±3．当x0=3时，B（（﹣1，），KBC=，直线BC的方程为6x﹣4y+7=0；当x0=﹣3时，B（（﹣7，），KBC=﹣，直线BC的方程为6x+4y﹣7=0；点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．13
