2022年广东省惠州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•惠州一模）若集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ） A．﹣1B．{﹣1}C．{5，﹣1}D．{1，﹣1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出集合A和B中一元二次方程的解，确定出两集合，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合A中的方程x2﹣4x﹣5=0，变形得：（x﹣5）（x+1）=0，解得：x=5或x=﹣1，∴集合A={﹣1，5}，由集合B中的方程x2=1，解得：x=1或x=﹣1，∴集合B={﹣1，1}，则A∩B={﹣1}．故选B点评：此题属于以一元二次方程的解法为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型． 2．（5分）（2022•惠州一模）已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．解答：解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目． 173．（5分）（2022•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ） A．y2=﹣8xB．y2=8xC．y2=﹣4xD．y2=4x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解答：解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握． 4．（5分）（2022•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A．36（π+）B．36（π+2）C．108πD．108（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是6，∴半个圆锥的体积是×π×62×6=36，后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长为12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是6，∴三棱锥的体积是××12×6×6=72，∴几何体的体积是36+72=36（π+2），故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查锥体的体积公式，本题是一个基础题． 175．（5分）（2022•惠州一模）已知向量，，，则m=（ ） A．2B．﹣2C．﹣3D．3考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意求出，通过共线，列出关系式，求出m的值．解答：解：因为向量，，所以=（2，1+m）；又，所以﹣1×（1+m）﹣1×2=0，解得m=﹣3．故选C．点评：本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力． 6．（5分）（2022•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（ ） A．B．C．5D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目． 7．（5分）（2022•惠州一模）已知函数f（x）=3x+x﹣9的零点为x0，则x0所在区间为（ ） A．[﹣，﹣]B．[﹣，]C．[，]D．[，]考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．17分析：根据函数f（x）在R上连续，f（）＜0，f（）＞0，从而判断函数的零点x0所在区间为[，]．解答：解：∵函数f（x）=3x+x﹣9在R上连续，f（）=+﹣9＜0，f（）=+﹣9＞0，f（）f（）＜0，故函数的零点x0所在区间为[，]，故选D．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题． 8．（5分）（2022•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ） A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴故选A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题． 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2022•惠州一模）在等差数列{an}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为 52 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式=13a7即可求解17解答：解：由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7=12∴a7=4∴=13a7=52故答案为：52点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题 10．（5分）（2022•惠州一模）展开式中，常数项是 60 ．考点：二项式定理．分析：据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解：展开式的通项为=令得r=2故展开式的常数项为T3=（﹣2）2C62=60故答案为60．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具． 11．（5分）（2022•惠州一模）执行如图的程序框图，那么输出S的值是 ．考点：程序框图．专题：计算题；图表型．17分析：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2022是否成立，成立则执行，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2022时算法结束可求得S的值．解答：解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2022，执行S=，k=1+1=2；判断2＜2022，执行S=，k=2+1=3；判断3＜2022，执行S=，k=3+1=4；判断4＜2022，执行S=，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2022时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2022时，跳出循环．又2022=671×3．所以当计算出k=2022时，算出的S的值为．此时2022不满足2022＜2022，跳出循环，输出S的值为故答案为．点评：本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期．是基础题． 12．（5分）（2022•惠州一模）已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B．若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列四个命题：①②③④其中所有正确命题的序号是 ④ ．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：17由题意可知：c可以是直线，也可以是平面，当c表示平面时，①③都不正确；在正方体中举出反例可得②不正确；而根据空间位置关系进行推理可得④正确，由此可得本题的答案．解答：解：对于①，当c表示平面时，根据a∥b且c∥b，不一定有a∥c成立，可能a⊂c，故①不正确；对于②，以正方体过同一个顶点的三条棱为a、b、c，可得a⊥b且c⊥b，但是a、c是相交直线，故②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确综上，正确命题的序号为④故答案为：④点评：本题给出关于位置关系的几个命题，叫我们找出其中的真命题．着重考查了平行公理及其推论、线面平行与线面垂直的判定与性质和命题真假的判断等知识，属于基础题． 13．（5分）（2022•惠州一模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为 ﹣4 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=3x﹣2y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：在坐标系中画出可行域，如图所示由z=3x﹣2y可得y=，则﹣表示直线z=3x﹣2y在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线3x﹣2y=0经过点A时，z最小，由可得A（0，2），此时最小值为：﹣4，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．17点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 14．（5分）（2022•惠州一模）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值．解答：解：直线的直角坐标方程为x+y﹣6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为故答案为：．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力． 15．（2022•惠州一模）（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC= 3 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．17解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2022•惠州一模）已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中）的周期为π，且图象上一个最低点为M（）（1）求f（x）的解析式；（2）当时，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的周期求出ω，利用函数图象上一个最低点求出A，列出关系式求出φ，推出函数的解析式．（2）利用函数的解析式，通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．解答：解：（1）因为函数的周期为π，所以T=，所以ω=2，因为函数图象上一个最低点为M（）所以﹣A+1=﹣1，所以A=2，并且﹣1=2sin（2×+φ）+1，可得sin（2×+φ）=﹣1，=2kπ﹣，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，因为，所以k=1，解得φ=．函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+）+1．（2）因为，所以，2x+∈[]，sin（2x+），∴2sin（2x+），172sin（2x+）+1，所以f（x）的值域为：．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的值域的求法，基本知识的应用，考查计算能力． 17．（12分）（2022•惠州一模）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，利用古典概型的概率计算公式可求得P（A）、P（B），再利用独立事件同时发生的概率公式可得答案；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，根据古典概型的概率计算公式分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=3），再用对立事件的概率求得P（ξ=2），从而可得分布列，由数学期望的定义可得ξ的数学期望；解答：解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，由于事件A、B相互独立，且P（A）=，P（B）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P（A•B）=P（A）•P（B）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P（ξ=0）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，ξ的分布列为：17所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及古典概型的概率计算公式，考查学生对表格的理解应用能力，属中档题． 18．（14分）（2022•惠州一模）如图，ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：MN∥平面A1ACC1；（2）求二面角N﹣MC﹣A的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP．利用三角形的中位线定理可得NP∥A1C1，MP∥B1B；再利用线面平行的判定定理可得NP∥平面A1ACC1；MP∥平面A1ACC1；利用面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面A1ACC1；进而得到线面平行MN∥平面A1ACC1；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．解答：解：（1）如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP．又∵点M，N分别为A1B和B1C1的中点，∴NP∥A1C1，MP∥B1B，∵NP⊂平面MNP，A1C1⊄平面MNP，∴NP∥平面A1ACC1；同理MP∥平面A1ACC1；又MP∩NP=P，∴平面MNP∥平面A1ACC1；∴MN∥平面A1ACC1；（2）侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．∴=（﹣1，2，﹣1），=（1，﹣1，2），=（0，2，0）．17设平面ACM的法向量为=（x1，y1，z1），则，令x1=1，则z1=﹣1，y1=0．∴=（1，0，﹣1）．设平面NCM的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x2=3，则y2=1，z2=﹣1．∴=（3，1，﹣1）．∴===．设二面角N﹣MC﹣A为θ，则==．故二面角N﹣MC﹣A的正弦值为．点评：本题综合考查了线面平行、面面平行、二面角、三角形的中位线定理、平面的法向量等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19．（14分）（2022•惠州一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．17考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，17所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在． 20．（14分）（2022•惠州一模）已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an•f（an），当m=时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设cn=an•lgan，如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：计算题；综合题．分析：（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：an=m2n，从而有bn=n•（）n﹣1，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列{bn}的前n项和Sn；（2）由题意，不等式cn＜cn+1对一切n∈N*成立，代入an的表达式并化简可得m2＜（）min．通过讨论单调性可得当n=1时，的最小值是，从而得到m2＜，结合0＜m＜1，得到实数m的取值范围是（0，）．解答：解：（1）由题意得f（an）=2+2（n﹣1）=logman，可得2n=logman，…（1分）∴an=m2n．…（2分）bn=an•f（an）=2n•m2n．∵m=，∴bn=an•f（an）=2n•（）2n=n•（）n﹣1，…（3分）∴Sn=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1，①Sn=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②…（4分）①﹣②，得Sn=（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n=…（6分）17∴化简得：Sn=﹣（n+2）（）n﹣1+4…（7分）（2）解：由（Ⅰ）知，cn=an•lgan=2n•m2nlgm，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，即nlgm＜（n+1）m2lgm对一切n∈N*成立．…（8分）∵0＜m＜1，可得lgm＜0∴原不等式转化为n＞（n+1）m2，对一切n∈N*成立，只需m2＜（）min即可，…（10分）∵h（n）=在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（）min=．…（12分）∴m2＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）综上所述，存在实数m∈（0，）满足条件．…（14分）点评：本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体，求数列的前n项和并求数列单调递增时参数的取值范围，着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式恒成立问题的讨论等知识，属于中档题． 21．（14分）（2022•惠州一模）已知函数f（x）=ax2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{an}满足2a1=f（2），，求的整数部分．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；数列的求和．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）把x=3代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于a，b方程，再由f′（3）=5得另一方程，联立求解a，b的值，则函数解析式可求；（2）把（1）中求出函数f（x）的解析式代入方程f（x）=kex，然后转化为k=e﹣x（x2﹣x+1），然后利用导数求函数g（x）=e﹣x（x2﹣x+1）的极值，根据函数g（x）的极值情况，通过画简图得到使方程k=e﹣x（x2﹣x+1），即方程f（x）=kex恰有两个不同的实根时的实数k的值；（3）由2a1=f（2）求出a1，结合求出a2，并判断出数列{an}为递增数列，进一步由得到，分别取n=1，2，…，代入后化简，则的整数部分可求．解答：解：（1）由f（x）=ax2+bx+1，所以f′（x）=2ax+b，因为函数f（x）=ax217+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x﹣8，所以切点为（3，7）．则，解得：a=1，b=﹣1．所以f（x）=x2﹣x+1；（2）由（1）知f（x）=x2﹣x+1，关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根，即x2﹣x+1=k•ex有两个不同的实根，也就是k=e﹣x（x2﹣x+1）有两个不同的实根．令g（x）=e﹣x（x2﹣x+1），则g′（x）=（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x=﹣（x2﹣3x+2）e﹣x=﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x由g′（x）=0，得x1=1，x2=2．所以当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，1）上为减函数；当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上为增函数；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上为减函数；所以，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=，当x=2时函数取得极大值g（2）=．函数y=k与y=g（x）的图象的大致形状如下，由图象可知，当k=和时，关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根；（3）由2a1=f（2）=22﹣2+1=3，所以＞1，=．又＞0，所以an+1＞an＞1．又，所以an+1﹣1=an（an﹣1），则，即．所以17====2＜2．又S=．故的整数部分等于1．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数列的和，解答此题的关键在于构造函数，然后利用导数分析函数的极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况，是难度较大的题目． 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