惠州市2022届高三第一次调研考试数学试题（文科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.复数等于（）A.B.C.D.3.在数列中，，公比，则的值为（）A．7B．8C．9D．164.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）A．40B．36C．30D．205.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）A．B．C．D．6.已知平面向量的夹角为，且，，则等于（）A.B.C.D.7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）A.B.C.D.8.执行如图所示程序框图．若输入，则输出的值是（）A．B．C．D．开始结束输入是否输出9.圆与直线相切于第三象限，则的值是（）．9A．B．C．D．10.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11.在中，若，则=.12.不等式组表示的平面区域的面积是.13.定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①，②若，；③，则.EDCBAO14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，为极点，直线过圆：的圆心，且与直线垂直，则直线的极坐标方程为．15.(几何证明选讲选做题)如图示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，则的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）若，，求的值.组别候车时间人数9一2二6三4四2五117.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18.（本小题满分14分）在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点，A1B1CBD1C1ADEP（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积．19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，．（1）证明数列为等比数列，并求出其通项；（2）设，记，求数列的前和．20．（本小题满分14分）如图，,是椭圆的两个顶点,，直线的斜率为．求椭圆的方程；（2）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于，证明：△的面积等于△的面积．21．(本小题满分14分）已知函数，，（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.惠州市2022届高三第一次调研考试试题数学（文科）答案9一、选择题题号12345678910答案CDBCDCACCC【解析】1.，故，选C2.，选D3.数列为，等比数列，，选B4.设从乙社区抽取户，则，解得，选C5.不是偶函数，是周期函数，在区间上不是单调递减，在区间上单调递增，故选D。6.，选C7.由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选A.8.，故选C9.解得，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，，故选C。10．，令故+0—0+递增极大值递减极小值递增9又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，<1，选C.二、填空题11.12.13.214.15.【解析】11.由余弦定理解得12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为13.由题意可知，，，EDCBAO14.圆C的直角坐标方程为，故圆心C为，过圆心且与OC垂直的直线为，转为极坐标方程为。15.依题意知,则,,代入解得。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.解：（1）已知函数即……………………………2分…………………………………………………………3分当时，即，…………………………4分…………………………………………………………6分（2）……………8分由，，解得：………10分……………………………………11分所以…………………………………12分917.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.…4分（2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………5分所得基本事件共有15种，即：…………………8分其中事件包含基本事件，共8种，………10分由古典概型可得，………………………12分18.解：（1）取中点，连接，A1B1CBD1C1ADEPQ则为中位线，，…………2分而正方体，是棱上中点，故，………………4分，所以四边形为平行四边形。，……………6分而面，面，故……………………………8分（2）正方体中，，故为高，………10分…………12分故………14分19.解：（1）…………………………………1分时，………………2分9时，，………………………3分两式相减得：，，………5分是以为首项，为公比的等比数列.………………6分…………………………………………7分，则，…………9分①②…………………10分①-②得：……………11分…………13分……14分20．（1）解：依题意，，，整理得………………………………2分解得，．………………………………3分所以椭圆的方程为．………………………4分（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．………6分设，．9所以………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则………………10分因为，所以，…13分从而．………………………………………14分证法二：记△的面积是，△的面积是．则线段的中点重合．………………10分因为，所以，．故线段的中点为．因为，，所以线段的中点坐标亦为．……13分从而．………………………………………14分21.解：（1）的定义域为………………………………………………1分，…………………………………………2分故单调递增；单调递减，…………………3分时，取得极大值，无极小值。……………………………4分（2），，若函数在上单调递增，则对恒成立…………………………………5分9，只需………………6分时，，则，，………7分故，的取值范围为…………………………………8分（3）假设存在，不妨设，………………………9分…………………………………………10分由得，整理得………11分令，，…12分，在上单调递增，………………………………………13分，故不存在符合题意的两点。…………………………14分9
