2022年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（50分）1．（5分）（2022•梅州一模）设i是虚数单位，复数对应的点在（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数的值为+i，它对应的点的坐标为（，），从而得出结论．解答：解：∵复数==+i，它对应的点的坐标为（，），故选A．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2022•梅州一模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，集合B=（﹣2，2），则A∩B为（ ） A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，3）D．（﹣2，2）考点：交集及其运算．分析：先将A化简，再求A∩B．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}=（﹣1，3）∵B={﹣2，2}，∴A∩B=（﹣1，2）故选：A．点评：集合的运算经常考查，本题主要是考查交集的运算，可以借助数轴来帮助解决． 3．（5分）（2022•梅州一模）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的偶函数是（ ） A．y=cosxB．y=x3C．y=D．y=ex+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性及单调性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：y=cosx是偶函数，但在（0，+∞）上有增有减，故排除A；y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数，故排除B；16y=y=是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=ex+e﹣x是偶函数，由于y′=ex﹣e﹣x，在（0，+∞）上，y′＞0，故其在（0，+∞）上单调递增的；正确．故选D．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键． 4．（5分）（2022•梅州一模）下列命题中假命题是（ ） A．∀x＞0，有ln2x+lnx+1＞0 B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．“a2＜b2”是“a＜b”的必要不充分条件 D．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减考点：命题的真假判断与应用．分析：通过换元，因为△=﹣3＜0，判定出t2+t+1＞0，进一步得到ln2x+lnx+1＞0，判定出A正确；通过举反例，判定出B正确C不正确；根据幂函数的定义及单调性，判定出D正确解答：解：对于A，令lnx=t则ln2x+lnx+1=t2+t+1，因为△=﹣3＜0，所以t2+t+1＞0，所以ln2x+lnx+1＞0，所以A正确；对于B，当，时，有cos（α+β）=cosα+cosβ，所以∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ，所以B正确；对于C，例如a=﹣2，b=1满足“a＜b”推不出“a2＜b2”，所以“a2＜b2”不是“a＜b”的必要不充分条件，所以C不正确；对于D，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减，需要所以m=2，所以D正确故选C点评：本题考查解决选择题常用的一个方法：举反例；考查换元的数学方法，属于一道基础题． 5．（5分）（2022•梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（ ）16 A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可．解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3，∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3，∴a=．故选C．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力 6．（5分）（2022•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？考点：程序框图．分析：16分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 7．（5分）（2022•梅州一模）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，是其图象的一条对称轴方程．故选A．点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值． 8．（5分）（2022•梅州一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（ ）16 A．B．C．或D．或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．解答：解：依题意可知m==±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度． 9．（5分）（2022•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1D．考点：圆的标准方程．专题：压轴题．分析：设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．解答：解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．点评：本小题主要考查圆与直线相切问题．还可以数形结合，观察判定即可． 10．（5分）（2022•梅州一模）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）考点：函数零点的判定定理．专题：压轴题；新定义．分析：由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有16，由此求得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即解得﹣＜m≤﹣2，故选A．点评：本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 二、填空题（20分）（一）必做题（9-13题）11．（5分）（2022•梅州一模）设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则= ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式及求和公式可得==代入可求解答：解：∵q=2∴====故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题． 12．（5分）（2022•梅州一模）在2022年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x9905M10.511销售量y11N865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n= 10 ．16考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：先求出横标和纵标的平均数，把所求的平均数代入方程中，得出m，n的关系式，题目中给出m+n=20，只要代入求解即可得到结果．解答：解：=（9+9.5+m+10.5+11）=（40+m），=（11+n+8+6+5）=（30+n）∵其线性回归直线方程是：，∴（30+n）=﹣3.2×（40+m）+40，即30+n=﹣3.2（40+m）+200，又m+n=20，解得m=n=10故答案为：10．点评：本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃． 13．（5分）（2022•梅州一模）设x，y满足，则z=x+y﹣3的最小值为 ﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=x+y﹣3对应的直线进行平移，可得当x=2且y=0时，目标函数z取得最小值﹣1．解答：解：作出不等式组中相应的三条直线对应的图象，如图所示可得点A（2，0）是直线2x+y=4与x﹣2y=2的交点，点B（0，﹣1）是直线x﹣y=1与x﹣2y=2的交点，点C（，）直线2x+y=4与x﹣y=1的交点，不等式组表示的平面区域是位于直线BC的下方、AC的右方，且位于直线AB上方的区域设z=F（x，y）=x+y﹣3，将直线l：z=x+y﹣3进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，0）=2+0﹣3=﹣1故答案为：﹣116点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y﹣3的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 14．（5分）（2022•梅州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是 1 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离减去半径即得所求．解答：解：圆ρ=2即x2+y2=4，圆心为（0，0），半径等于2．直线=3即ρsinθ+ρcosθ=6即y+x﹣6=0，圆心到直线的距离等于=3，故圆上的点到直线的距离的最小值为3﹣2=1，故答案为1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 15．（2022•梅州一模）（几何证明选讲选做题）如图⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA=30°，则BP= 3 cm．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：直线与圆．分析：利用切线的性质可得OC⊥PC．利用直角三角形的边角关系可得，进而即可得出．解答：解：连接OC，∵CP与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP．16∵OC=3，∠CPA=30°，∴==6．∴BP=OP﹣OB=6﹣3=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键． 三、解答题（80分）16．（12分）（2022•梅州一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角C（2）若向量与共线，且c=3，求a、b的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用三角函数的倍角公式和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用向量共线定理、正弦定理及余弦定理即可得出．解答：解：（1）∵，∴，化为，∴，∵C∈（0，π），∴，∴，解得C=．（2）∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理得，∴b=2a．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2absinC，∴，化为a2+b2﹣ab=9．联立，解得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和的正弦公式、向量共线定理、正弦定理及余弦定理是解题的关键． 1617．（12分）（2022•梅州一模）某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽以100名学生的笔试成绩，按成绩分组，依次为第一组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185），统计后得到如图所示的频率分布直方图．（1）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮大幅度，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官面试的概率？考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）首先求出第3，4，5组的频数，然后根据分层抽样中抽取的比例相等求出三组所抽取的人数；（2）利用列举法列出在6名学生中随机抽取2名学生的所有方法种数，查出第4组至少有一名学生被A考官面试的种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：（1）由图得，第3组的频率为0.06×5=0.3，故频数为30．第4组的频率为0.04×5=0.2，故频数为20．第5组的频率为0.02×5=0.1，故频数为10．因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以，第3、4、5组每组各抽取3、2、1名学生进入第二轮面试．（2）设第3组的3为同学为1，2，3．第4组的2位同学为a，b．第5组的1位同学为c．则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）．其中第4组的两位同学至少有1位同学入选的有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b）9种可能．所以第4组至少有一名学生被A考官面试的概率为．16点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是正确列出在6名学生中随机抽取2名学生的所有情况，属中档题． 18．（14分）（2022•梅州一模）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求三棱锥B﹣PEC的体积；（3）求证：AF∥平面PEC．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的性质定理可得AB⊥AF．，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用三棱锥的体积计算公式VB﹣PEC=VP﹣BEC=即可得出；（3）取PC得中点M，连接MF、ME．利用三角形的中位线定理及矩形的性质可得，于是四边形AEMF是平行四边形，可得AF∥EM，再利用线面平行的判定定理可得AF∥平面PEC．解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，由底面ABCD是矩形，∴CD⊥DA，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF．∵PA=AD=1，F是PD的中点，∴AF⊥PD，又PD∩DC=D，∴AF⊥平面PDC．（2）解：=，∵PA⊥平面ABCD，VB﹣PEC=VP﹣BEC==．（3）取PC得中点M，连接MF、ME．∵，，E是AB的中点，∴，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM．又AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．16点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、三棱锥的体积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19．（14分）（2022•梅州一模）已知函数f（x）=x2+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）令cn=+，证明：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列递推式；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用即可求出an；（2）利用“错位相减法”即可得出；（3）利用基本不等式的性质和“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）∵点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，∴，∴当n=1时，；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=．当n=1时，也适合上式，因此．（2）由（1）可得：=．∴Tn=，16，两式相减得=1+=3∴．（3）证明：由cn==+＞2=2，∴c1+c2+…+cn＞2n．又cn=+=2+﹣，∴c1+c2+…+cn=2n+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+﹣＜2n+．∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+成立．点评：熟练掌握公式、“错位相减法”、基本不等式的性质和“裂项求和”是解题的关键． 20．（14分）（2022•梅州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2﹣b2即可得到椭圆的方程；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，由点F满足，及，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）．设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，16∴，，解得，．而点M在椭圆C1上，∴，化为，联立，解得，故椭圆的方程为．（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且．，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF===≤=．当且仅当时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为．点评：本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和计算能力． 21．（14分）（2022•梅州一模）已知函数．（Ⅰ）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．16（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．解答：解：（I）当a=1时，，可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为，要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是（2）已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即恒成立．设．即g（x）的最大值小于0.（1）当时，，∴为减函数．∴g（1）=﹣a﹣≤0∴a≥﹣∴（2）a≥1时，．为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是．点评：解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．1616
