惠州市2022届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量，，且，则向量()A.B.C.D.4.已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是()A.B.或C.D.或5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是()A.若,则B.若,则C.若则D.若,则6.不等式组表示的平面区域的面积是()11A.B.0C.D.7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是()A.B.C.6D.98.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是()A.10个B.15个C.16个D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．7986389398841510311149.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩茎叶图,根据茎叶图计算数据的中位数为.10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项的和.11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角.12.设是上的奇函数,.当时有,则.13.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是.15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点,,,则等于.11三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：宣传慰问义工总计20至40岁111627大于40岁15823总计262450(1)分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?ABACAEAOA(2)上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.20.（本小题满分14分）BOxyF1F2PAM在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，11求点的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为.(1)方程有两个相等的实根,求的解析式.(2)的最小值不大于,求实数的取值范围.(3)如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.惠州市2022届高三第一次调研考试数学(理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CBADCADB1.【解析】，故，故选C.2.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B.3.【解析】∵,∴,∴.故选A.4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线的方程为,由题意得或.所以,直线的方程或.故选D.(二）【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若,则”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为.故选A.7.【解析】设切点为，则①，∵，又切线l过A、M两点，11∴则②联立①、②可解得，从而实数的值为故选D.8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;∴共有个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.510．3511．（或）12．13．3614．15．59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：7983868891939495989899101103114中位数为94与95的平均数94.5.10.【解析】.11.【解析】直线与直线垂直得，.12.【解析】.13.【解析】14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是.15.【解析】连接,切圆于点,.又，11是中点，.三、解答题：16.解(1)∵………………………4分∴的最大值为2,……5分，最小正周期为………6分(2)由(1)知,所以,即………………………8分又是第二象限的角,所以……10分所以………12分17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分∴年龄大于40岁的应该抽取人.………………………4分(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,∵6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,∴可能的取值为.………………………5分则,,………8分∴的分布列为………10分11∴的数学期望为………12分18（本小题满分14分）解:(1)取的中点,连、、则面,的长就是所要求的距离.………………………3分、,,在直角三角形中,有…6分（另解:由(2)连结并延长交于,连结、.则就是所求二面角的平面角.……………9分作于,则在直角三角形中,在直角三角形中,……………12分,故所求的正弦值是……………14分方法二:(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、……2分设平面的法向量为则由11由,……4分则点到面的距离为……6分(2)……8分设平面的法向量为则由知:由知:取……………10分由(1)知平面的法向量为……………11分则<>.……………13分结合图形可知,二面角的正弦值是……………14分19.（本题满分14分）解：（1）数列是等差数列且，.①…2分成等比数列，即②………4分由①，②解得或…………5分………6分（2）证明;由（1）可得，…………7分所以.…………8分所以.…………10分，.…………11分，数列是递增数列，.………13分11.…………14分20解：（1）设，由题意,可得,即，……………2分整理得，得(舍)或，所以.……………4分（2）由（1）知,可得椭圆方程为.直线方程为……………………………………………5分两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分解得得方程组的解……………………8分不妨设,设的坐标为则，…………10分由得.于是…………11分由得，化简得，………………………………13分将代入得，由得.因此,点的轨迹方程是.…14分21解：∵的解集为,∴的解集为,……………………1分∴,且方程的两根为即，∴……2分（1）∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根11∴,∴或…………3分∵,∴,∴…………4分（2）∵,∴的最小值为,……………………5分则,,解得,…………7分∵,∴………………………………8分（3）由,得(※)①当时,方程(※)有一解,函数有一零点；……………………9分②当时,方程(※)有一解,令得,，i)当，时，（（负根舍去）），函数有一零点.……………10分ii)当时，的两根都为正数，当或时，函数有一零点.11分ⅲ)当时，，③方程(※)有二解,i)若,，时,（（负根舍去）），函数有两个零点；…12分11i)当时，，的两根都为正数，当或时，函数有两个零点。……13分ⅲ)当时，，恒成立，取大于0()的任意数，函数有两个零点…14分11
