2022年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•惠州一模）设集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，若x∈A，且x∉B，则x等于（ ） A．﹣1B．0C．1D．2考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：先由x∈A，确定出x的取值范围，再由x∉B，去掉不满足条件的x，从而得到x的值．解答：解：∵x∈A，∴x的可能取值是﹣1，0，1．∵x∉B，∴x的值不能取0，1，2，∴x=﹣1．故选A．点评：本题考查元素与集合的关系，解题时要注意全面考虑，不重复，不遗漏． 2．（5分）（2022•惠州一模）已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．解答：解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目． 3．（5分）（2022•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ） A．y2=﹣8xB．y2=8xC．y2=﹣4xD．y2=4x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．15分析：根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解答：解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握． 4．（5分）（2022•惠州一模）在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第25项为（ ） A．2B．6C．7D．8考点：数列的函数特性；等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：数字1有1个，数字2有2个，数字3有3个，数字n=6时有1+2+3+4+5+6=21个，由此可得答案．解答：解：数字共有n个，当数字n=6时，有1+2+3+4+5+6=21项，所以第25项是7，故选C．点评：本题考查数列的函数特性，考查学生的观察分析能力，属基础题． 5．（5分）（2022•惠州一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） A．B．C．2cm3D．4cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，15如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够有三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题． 6．（5分）（2022•惠州一模）甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩86898985方差S22.13.52.15.6从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ） A．甲B．乙C．丙D．丁考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接由图表看出四人中乙和丙的平均成绩最好，然后看方差，方差小的发挥稳定．解答：解：乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，丙的发挥较稳定，故选C．点评：本题考查方差和标准差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，在平均数相差不大的前提下，方差越小说明数据越稳定，这样的问题可以出现在选择题或填空题中．考查最基本的知识点． 7．（5分）（2022•惠州一模）已知向量，，，则m=（ ） A．2B．﹣2C．﹣3D．3考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意求出，通过共线，列出关系式，求出m的值．15解答：解：因为向量，，所以=（2，1+m）；又，所以﹣1×（1+m）﹣1×2=0，解得m=﹣3．故选C．点评：本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力． 8．（5分）（2022•惠州一模）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最大值为（ ） A．﹣5B．﹣4C．﹣2D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．解答：解：满足约束条件的可行区域如下图阴影所示；∵目标函数z=3x﹣2y∴zA=3﹣4=﹣1．zB=﹣=﹣．zC=3﹣0=3．故目标函数z=3x﹣2y的最大值为3故选D15点评：本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握． 9．（5分）（2022•惠州一模）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ） A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件考点：函数最值的应用．专题：计算题．分析：根据题意，可得利润L（x）=20x﹣C（x）=﹣（x﹣18）2+142，由二次函数的性质，分析可得答案．解答：解：利润L（x）=20x﹣C（x）=﹣（x﹣18）2+142，当x=18时，L（x）有最大值．点评：本题是函数的应用题，关键是建立函数关系式，注意变量范围．解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化；2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证． 10．（5分）（2022•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ） A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），15又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴故选A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题． 二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.11．（5分）（2022•惠州一模）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生 200 人．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：求出该地区高中生总人数，由样本容量比上总容量得到抽取的比例，用A类学校的学生人数乘以求出的比值即可．解答：解；高中生共有9000人，抽取900，抽取比例为，故A类学校中应抽学生人．故答案为200．点评：本题考查了分层抽样方法，分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法，关键是注意分层抽样中，每层抽取的比例相等，是基础题． 12．（5分）（2022•惠州一模）等比数列{an}中，a4=4，则a2•a6等于 16 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有ap•aq=am•an列出等式求出a2•a6的值．解答：解：∵等比数列{an}中∴a2•a6=a42=16故答案为16点评：再解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单．常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有ap•aq=am•an，等差数列中有若p+q=m+n则有ap+aq=am+an 13．（5分）（2022•惠州一模）执行如图的程序框图，那么输出S的值是 ﹣1 ．15考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：第1次循环，S=﹣1，K=2，第2次循环，S=，K=3，第3次循环，S=2，K=4，第4次循环，S=﹣1，K=5，…框图的作用是求周期为3的数列，输出S的值，不满足k＜5，退出循环，循环次数是4次，即输出的结果为﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 14．（5分）（2022•惠州一模）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值．15解答：解：直线的直角坐标方程为x+y﹣6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为故答案为：．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力． 15．（2022•惠州一模）（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC= 3 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）（2022•惠州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．（I）求角C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．考点：正弦定理的应用；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（I）在△ABC中，利用正弦定理将csinA=acosC化为sinCsinA=sinAcosC，从而可求得角C的大小；（II）利用两角和的余弦与辅助角公式可将sinA﹣cos（B+C）化为sinA﹣cos（B+C）=2sin（A+），从而可求取得最大值时角A，B的大小．解答：解析：（I）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，∵0＜A＜π，15∴sinA＞0，∴sinC=cosC，又cosC≠0，∴tanC=1，又C是三角形的内角即∠C=…（4分）（II）sinA﹣cos（B+C）=sinA﹣cos（π﹣A）=sinA+cosA=2sin（A+）…（7分）又0＜A＜，＜A+＜，所以A+=即A=时，2sin（A+）取最大值2．（10分）综上所述，sinA﹣cos（B+C）的最大值为2，此时A=，B=…（12分）点评：本题考查正弦定理，考查两角和的余弦与辅助角公式，考查求三角函数的最值，掌握三角函数的基本关系是化简的基础，属于中档题． 17．（12分）（2022•惠州一模）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.2]30.06（4.2，4.5]60.12（4.5，4.8]25x（4.8，5.1]yz（5.1，5.4]20.04合计n1.00（I）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．考点：等可能事件的概率；频率分布表．专题：计算题．分析：（I）根据题意，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．解答：解：（I）由表可知，样本容量为n，15由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由，解可得，x=50；y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）==，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．点评：本题考查等可能事件的概率与频率分布表的应用，在列举时，注意按一定的顺序，做到不重不漏． 18．（14分）（2022•惠州一模）如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求四面体B﹣CDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）取BD的中点P，连接EP、FP，△BCD中利用中位线定理，证出PF∥DC且PF=DC，结合题意EA∥DC且EA=DC，可得PF与EA平行且相等，从而得到四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP，再由线面平行判定定理可得AF∥平面BDE；（2）由面面垂直的性质定理，证出BA⊥面ACDE，得BA就是四面体B﹣CDE的高．根据直角梯形ACDE的上下底边长和直角腰长，算出△CDE的面积为S△CDE=S梯形ACDE﹣S△ACE=2，最后利用锥体的体积公式即可算出四面体B﹣CDE的体积．15解答：解：（1）取BD的中点P，连接EP、FP，…（1分）∵△BCD中，PF为中位线，∴PF∥DC且PF=DC，又∵AE∥CD，DC=2AE2∴EA∥DC且EA=DC，由此可得PF∥EA，且PF=EA…（3分）∴四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP…（5分）∵EP⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE…（7分）（2）∵BA⊥AC，面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC∴BA⊥面ACDE，即BA就是四面体B﹣CDE的高，BA=2…（10分）∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD∴因此，△CDE的面积为S△CDE=3﹣1=2…（12分）∴四面体B﹣CDE的体积．…（14分）点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面平行并求四面体的体积．着重考查了三角形的中位线、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理和锥体体积的求法等知识，属于中档题． 19．（14分）（2022•惠州一模）已知，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：15（1）先确定直线l的方程为y=x﹣1，利用直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；（2）确定函数h（x）的解析式，利用导数求得函数的单调性，即可求函数h（x）的极大值．解答：解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，∴直线l的方程为y=x﹣1．…（2分）又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），∴在点（1，0）的导函数值为1．∴，∴，…（4分）∴…（6分）（2）∵h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）…（7分）∴…（9分）令h′（x）=0，得或x=﹣1（舍）…（10分）当时，h′（x）＞0，h（x）递增；当时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）因此，当时，h（x）取得极大值，∴[h（x）]极大=…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，正确求导是关键． 20．（14分）（2022•惠州一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆方程；（2）设直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，易知b=1，设右焦点F（c，0），由条件得，可求得c值，根据a2=b2+c2，可得a值；15（2）易判断直线l斜率不存在时不合题意，可设直线l：，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，则△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，所以=﹣，由韦达定理及中点坐标公式可得关于k的方程，解出k后验证是否满足△＞0，从而可得直线l的方程；解答：解（1）设椭圆方程为，则b=1．设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得，得．则a2=b2+c2=3，∴椭圆方程为．（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；故可设直线l：，与椭圆联立，消去y得：．由，得．设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），由韦达定理得，而．则由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，，可求得，检验，所以k=，所以直线l的方程为或．点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，属中档题． 1521．（14分）（2022•惠州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程的两实根，且a1=1．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）Sn是数列{an}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用韦达定理，结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列；（Ⅱ）分别求出bn、Sn，从而可得不等式，分类讨论，即可求出λ的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：∵an，an+1是关于x的方程的两实根，∴…（2分）∵．故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，即∴=．…（8分）因此，要使bn＞λSn，对∀n∈N*都成立，即（*）…（10分）15①当n为正奇数时，由（*）式得：即，∵2n+1﹣1＞0，∴对任意正奇数n都成立，因为为奇数）的最小值为1．所以λ＜1．…（12分）②当n为正偶数时，由（*）式得：，即∵2n﹣1＞0，∴对任意正偶数n都成立，∵为偶数）的最小值为，∴．∴存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立时λ的取值范围为（﹣∞，1）．…（14分）点评：本题考查等比数列的证明，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15
