宜昌市一中2022年秋高二期中考试数学（理科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若x2＝1，则x＝1”的否命题为A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠12.两条直线，互相垂直，则的值是A．或B．C．D．或3.下列四种说法中，正确的个数有①命题均有的否定是：使得；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③，使是幂函数，且在上是单调递增；④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成。A.3个B.2个C.1个D.0个4.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．，B．，C．，D．，5.设分别为两个不同的平面，直线⊂，则“⊥”是“⊥”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为A.B.C.D.7.设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则＝A.B.C．3D．29.直线与圆相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是A.B.4C.D.210.已知、分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为A.B. C.D.-17-\n11.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为A.B.C.D.12.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率为A.B.C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡的横线上）13.已知直线和，则的充要条件是.14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是。15.如图所示，有一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面，水面宽，当水面下降后，水面宽为______．16.若椭圆和椭圆的焦点相同且。给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④。其中所有正确结论的序号是____。三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）设集合，关于x的不等式的解集为B(其中a＜0).(Ⅰ)求集合B；(Ⅱ)设p：x∈A，q：x∈B，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。-17-\n18.（本题满分12分）已知命题P：“，都有不等式成立”，命题Q：“关于的方程只有一个实数根”(Ⅰ)若命题P是真命题，求实数的取值集合B；(Ⅱ)若命题“P且Q”为假，命题“P或Q”为真，求实数的取值范围.19.（本题满分12分）已知直线过点,并与直线和分别交于点A、B,若线段AB被点P平分.求:(Ⅰ)直线的方程;(Ⅱ)以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程。20.（本题满分12分）如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1；-17-\n21.（本题满分12分）已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线：相交于B，C两点．当直线的斜率是时，BC的中点M（1,2.5）.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)设线段的中垂线在y轴上的截距为，求的取值范围．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)椭圆的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。(i)求证：线段的中点在直线上；(ii)求的取值范围.-17-\n宜昌市一中2022年高二期中考试数学（理科）试题时间：120分钟总分：150分命题人：覃明富审题人：卞自立一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( C )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠12.两条直线，互相垂直，则的值是（A）A．或B．C．D．或3.下列四种说法中，正确的个数有①命题均有的否定是：使得；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③，使是幂函数，且在上是单调递增；④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成。A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】B【解析】本题主要考查命题及其关系.①因为命题“，均有”的否定是：，使得，所以命题“，均有”的否定是：“，使得是错误的;②“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件,是正确的；③使函数是幂函数，则，所以且在上是单调递增，所以③正确;④错误.故答案选B.4.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（D）A．，B．，C．，D．，-17-\n5.设分别为两个不同的平面，直线⊂，则“⊥”是“⊥”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．6.若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为（B）A.B.C.D.【答案】B7.设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段【答案】D8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则＝( )A.B.C．3D．2解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.9.直线与圆相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是A.B.4C.D.2【答案】D【解析】本题考查直线与圆的位置关系及求两点间距离的最大值.依题意△AOB是直角三角形,得∠AOB=90°,|OA|=|OB|=,所以|AB|=2,则圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离为=1,即3a2+b2=1,从而b2≤1.于是点P(a,b)与点(0,1)之间的距离d=,因为b∈[-1,1],所以当b=-1时,距离最大,即dmax=2,故选D.-17-\n10.已知、分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得,双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离；关于渐近线的对称点为，与与渐近线交于点，可得；而为的中点，为的中点，所以，所以；在三角形中，，即，而，可得，所以离心率.选B.【备注】点到线的距离;双曲线，离心率，.11.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质以及平面向量的数量积运算；将化为，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则，即双曲线的标准方程为-17-\n，设，则在单调递增，则当时，有最小值；故选A.12.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率（B）A.B.C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡的横线上）13.已知直线和，则的充要条件是 －1 .14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是[－，6].15.如图所示，有一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面，水面宽，当水面下降后，水面宽为______．16.若椭圆和椭圆的焦点相同且。给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④。其中，所有正确结论的序号是____。【答案】①③④三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）设集合，关于x的不等式的解集为B(其中a＜0).(Ⅰ)求集合B；-17-\n(Ⅱ)设p：x∈A，q：x∈B，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。【答案】(Ⅰ)，解得x＞－a或x＜2a.故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}………………………………………………………4分(Ⅱ)若是的必要不充分条件，则，由此可得，而A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}……………………6分由，可得，………………………………………………………………………………8分∴，……………………………………………………………..10分法二 A＝{x|x≥3或x≤－2}，CUA＝{x|－2＜x＜3}，而CUB＝{x|2a≤x≤－a}，由是的必要不充分条件，可得，也即，∴，.【解析】明确是的必要不充分条件对应的推出关系是“”也可以利用与“”等价的推出关系“”求a的范围.18.（本题满分12分）已知命题P：“，都有不等式成立”，命题Q：“关于的方程只有一个实数根”(Ⅰ)若命题P是真命题，求实数的取值集合B；(Ⅱ)若命题“P且Q”为假，命题“P或Q”为真，求实数的取值范围.-17-\n【答案】(Ⅰ)命题：“，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题，得x2－x－m＜0在－1≤x≤1时恒成立，∴m＞(x2－x)max，得m＞2，即B＝{m|m＞2}...............................................................................................................5分(Ⅱ)，则………………………………………………6分且…………………………………………………….7分若命题Q为真得………………………………………………………………….9分①当命题P为真，命题Q为假时，………………………………...10分②当命题P为假，命题Q为真时，……………………………..11分综上所述，实数的取值范围为……………………………………………………12分19.（本题满分12分）已知直线过点,并与直线和分别交于点A、B,若线段AB被点P平分.求:(Ⅰ)直线的方程;(Ⅱ)以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程。【答案】(Ⅰ)依题意可设A、B,则,解得.即,又l过点P,易得AB方程为……………………………………………………6分-17-\n(Ⅱ)设圆的半径为R,则,其中d为弦心距,,可得,故所求圆的方程为…………………………………………………………………..12分20.（本题满分12分）如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1；解析：(Ⅰ)直三棱角柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5∴AC⊥BC且BC1在平面ABC内的射影为BC∴AC⊥BC1…………………………………………………………………..6分(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E，连结DE∵D是AB的中点，E是BC1的中点∴DE∥AC1DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1平面CDB1……………………………………………………….12分21.（本题满分12分）已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线：相交于B，C两点．当直线的斜率是时，BC的中点M（1,2.5）.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)设线段的中垂线在y轴上的截距为，求的取值范围．解：(Ⅰ)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率为时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4………………………….1分由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴……………………….4分而p-17-\n＝2，............................................................................5分则抛物线G的方程为x2＝4y………………………………………………6分(Ⅱ)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，④………………………………7分∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k……………………………………………………….8分∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，………………………………………………….9分∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，………………………………………………….10分对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．………….11分故b的取值范围为(2，＋∞)．………………………………………………………12分22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)椭圆的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。(i)求证：线段的中点在直线上；(ii)求的取值范围.【答案】解：(Ⅰ)由题意，解得,所求椭圆的标准方程为；……………………………………………………4分-17-\n(Ⅱ)解法一：(i)设，，消去x，化简得，，………………………5分设的中点，则，，即，，.............................................................................................6分设，得T点坐标()，………………………………………….7分，所以，线段的中点在直线上………………………………8分(ii)①当直线为轴时，当时，的中点为，.………………………………………………………..9分当时，，-17-\n.……………………………………………10分令.则.令则函数在上为增函数，所以………………………………………………………………………..11分所以的取值范围是……………………………………………………………….12分解法二：(i)设点的坐标为，当时，的中点为，符合题意.当时，.，消去x化简得,.,-17-\n设的中点，则，，，，即，，又.所以，线段的中点在直线上.(ii)当时， ,,当时，，..，令.则.令则函数在上为增函数，所以.-17-\n所以当的取值范围是.解法三：(i)当直线斜率不存在时，的中点为，，符合题意.当直线斜率存在时，若斜率为0，则垂直于x轴，与x=4不能相交，故斜率不为0.设，()，消去y，化简得.,设的中点，则，，，，即，，设，得T点坐标()，，所以，线段的中点在直线上.(ii)当直线斜率不存在时，的中点为，..当直线斜率存在时，-17-\n，...令.则.令,则函数在上为增函数，所以.所以的取值范围是.【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆的标准方程.-17-
