宜昌市葛洲坝中学2022——2022学年度第一学期高二年级期中考试数学(理科)试题考试时间:120分钟考试总分:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“,”的否定为：A.,.B.,.C.,.D.,.2．下列程序执行后输出的结果是（）A．3B．6C．10D．153．要从已编号（1-60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（）A．B．C．D．4．下列命题中为真命题的是( )A.命题“若，则”的逆命题B.命题“若,则或”的否命题C.命题“若，则”D.命题“若，则”的逆否命题5．两圆与的公切线有（）条A．B．C．D．6.执行下图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是A．1B．2C．3D．47.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．08．下表为某班5位同学身高（单位：cm）与体重（单位kg）的数据，身高170171166178160体重7580708565若两个量间的回归直线方程为，则的值为（）A．-122.2B．-121.04C．-91D．-92.310\n9.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从轴的正方向向负方向看为正视方向，从轴的正方向向负方向看为俯视方向，以平面为投影面，则得到俯视图可以为()A.B.C.D.10．设点是函数图象上的任意一点，点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A.B.C.D.以上答案都不对11．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为A.B.C.D.12．已知三棱锥中，，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________.14．“是“直线与圆相交”的______________条件.10\n15.图形如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：50次150次300次石子落在⊙内(含⊙上)的次数144393石子落在阴影内次数2985186则估计封闭图形的面积为________m2.16.设圆，直线，点，使得圆上存在点，且(为坐标原点)，则点的横坐标的取值范围为_____________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知直线：，（不同时为0），：，（1）若且，求实数的值；（2）当且时，求直线与之间的距离18．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图． （1）求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[240.260）的用户中应抽取多少户？ 19．（本小题满分12分）已知关于的二次函数（Ⅰ）设集合和，分别从集合，10\n中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率.（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．20.设函数的值域为R;:不等式,对∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“”为真命题,命题“”为假命题,求实数的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，点满足．（1）当时，证明：.（2）若二面角的大小为，问：符合条件的点是否存在.若存在，求出的值．若不存在，说明理由.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.（Ⅰ）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆交于不同的两点，且，求圆的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.10\n宜昌市第二十中学2022--2022学年第一学期高二年级期中考试数学(理科)参考答案BCBBBDBBDAAD13.14.充分不必要15.3π16.5．B两圆的圆心分别为：，半径分别为：，所以圆心距为：，因为，所以两圆相交，公切线为条.6.D令，解得，三个都满足.令，解得，满足条件.当时，无解.所以有个，故选D．8.B求出身高,体重,将两个数据代入回归直线方程得，.9.DA为正视图，B为侧视图，C中的中间实线应为虚线.10.A11．A由圆的方程可知圆心为,半径为2.因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线的距离,即,解得.12．D如下图，取的中点,连接,过做于因为，所以因为，平面,平面,所以平面因为平面,所以平面平面又，所以平面所以就是直线与底面所成角，所以又因为，所以与全等，所以,所以是正三角形,所以即是三棱锥的外接球的球心，在直角中，,所以三棱锥的外接球的半径为三棱锥外接球的体积为.13．因为，所以，即，故.14．充分不必要将圆的一般方程化为标准方程得．由得，从集合的角度分析，是10\n的真子集，所以为充分不必要条件．15.3π由记录≈，可见P(落在⊙O内)＝＝，又P(落在⊙O内)＝，所以＝，SABC＝3π(m2)16.依题意点，设．过点作圆的切线，切点为，则．从而，即，就是，，,解得．17.解：（1）当时，：，由知，解得；………4分（2）当时，：，当时，有…………………………………………………………7分解得，…………………………………………………………………………………8分此时，的方程为：，的方程为：，即，则它们之间的距离为．……………………………………………10分18.解:（1）①由得：，所以直方图中的值是.…………………………………………2分②月平均用电量的众数是.……………………………………………4分③因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得.所以月平均用电量的中位数是224.…………………………………………6分(2)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10户，月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5户，…………………………10分抽取比例：，……………………………………………………………11分所以月平均用电量在[240,260)的用户应抽取户.…………………………12分19．解：要使函数在区间上是增函数，需且，即且.……………………………………………………………………………3分10\n（Ⅰ）所有的取法总数为个.……………………………………………4分满足条件的有，，，，，，，，，，，，，，，共16个，………6分所以所求概率.……………………………………………………………7分xOy88P（Ⅱ）如图，求得区域的面积为.……………………………………………8分由，求得.…………………9分所以区域内满足且的面积为.……………………………11分所以所求概率………………………………………………………………12分20.解：对于：取到的所有值.………………………1分时符合题意.…………………………………………………………………………2分时二次函数的图象开口向下，不符合题意……………………………………3分时需，解得…………………………………………………………4分从而真………………………………………………………………………5分对于：，对恒成立.……………………………………6分而在上为增函数.………………………………………………7分因此真.………………………………………………………8分命题“”为真命题等价于至少一个为真命题.命题“”为假命题等价于至少一个为假命题.因此必然一真一假.……………………………………………………………………9分真假且，无解.………………………………………………………10分假真且，解得.…………………………………………11分综合可得的取值范围为.…………………………………………………………12分21.解:(1)解法1：当时为中点.连接，因为，所以.又，所以.………………………………………………………5分(每缺少一个条件扣2分，扣完为止).解法2：以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，．…………………………………………………………………1分10\n当为中点时，，所以，.设平面的法向量，则,即，得，令，则，所以平面的一个法向量.………3分又，，所以．………………4分又，所以.………………………………………5分（2）易知平面的一个法向量．……………………………………6分设，由，得，.即.………………………………………7分所以，.设平面的法向量，，则，……8分（令，则，.）令，则，.所以平面的一个法向量，…………………………9分所以，…………………10分解得或，因为，所以．……………………………………11分因此符合条件的点存在，且.…………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为，即.令，得；令，得.……………………………………………2分（定值）.……………………………4分（Ⅱ）由，知.所以，解得.………………………………………………………5分10\n当时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；…………………………………………………………………………………………6分当时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意.…………………………………………………………………………………7分所以，所求圆M的方程为.………………………………8分（Ⅲ）设，，，又知，，所以，.因为，所以.将，代入上式，整理得.①……………………………………………9分设直线的方程为，代入，整理得.所以，.………………………………10分代入①式，并整理得，即，解得或.当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点第二种情况不合题意（G、H只可能在直径的异侧），舍去…………………………12分10\n化简部分可改为:由对称性可知，若有定点，则定点一定在上，令，可得.10
