宜昌市第一中学2022年秋季学期高二年级期中考试数学（文科）试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题：“若，则”的逆否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线与直线平行，则（）A．1B．C．D．05．已知为椭圆的左右焦点，弦过,则的周长为（）A．4B．6C．8D．166．过点的抛物线的标准方程是（）A．y2=2xB．x2=﹣2yC．y2=4x或x2=﹣4yD．y2=2x或x2=﹣2y7．过点的直线与圆交于、两点，且，则直线的方程是（）A．B．C．D．或12\n8．已知命题p：“”，命题q：“”，若命题“p且q”是真命题，则命题的取值范围为()A．B．C．D．9．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．10．已知定点，点为抛物线y2=4x上一动点，点到直线距离为，则的最小值为（）PFCMDA．B．4C．D．11．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，O为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡横线上）13．已知空间一点的坐标是（5，2，﹣6），点在轴上，若，则点的坐标是 ．14．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为.12\n15．直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是 ．16．给出下列命题：⑴是幂函数；⑵“”是“”的充分不必要条件；⑶的解集是；⑷函数的图象关于点成中心对称；⑸命题“若，则”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2http://_www.wl*n100.com未来脑教学云平#台＞0的解集为B(其中a＜0).(1)求集合B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数（其中），﹒（1）若命题“”是真命题，求的取值范围；（2）设命题：，或，若是假命题，求的取值范围.19.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系htt*p://(www.wln100.com未来脑教学云平台%*xOy中，，，，，设△AOB的外接圆圆心为E.12\n(1)若⊙Ehttp://www.w#ln100.com未来脑教学云平台))+与直线CD相切，求实数a的值；(2)若点P在⊙E上，且使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙Eht!tp://www.wln100.com*未来脑$教学云平台#是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知双曲线C1：的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标.21.（本题满分12分）已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线与⊙M相切，求直线的方程；（3）若直线与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线的方程．22.（本题满分12分）12\n设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.宜昌市一中2022年高二期中考试数学（文科）试题时量：120分钟总分：150分命题人：卞自力审题人：高一年级数学组一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题：“若，则”的逆否命题是（D）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．椭圆的离心率等于（B）A．B．C．D．3．已知，则p是q的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线与直线平行，则（A）A．1B．C．D．05．已知为椭圆的左右焦点，弦过,则的周长为（C）A．4B．6C．8D．1612\n6．过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是（D）A．y2=2xB．x2=﹣2yC．y2=4x或x2=﹣4yD．y2=2x或x2=﹣2y7．过点的直线与圆交于、两点，且，则直线的方程是（D）A．B．C．D．或8．已知命题p：“”，命题q：“”，若命题“p且q”是真命题，则命题的取值范围为(A)A．B．C．D．9．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（B）A．B．C．D．10．已知定点，点为抛物线y2=4x上一动点，点到直线距离为，则的最小值为（C）PFCMDA．B．4C．D．11．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（B）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．已知抛物线y=18x2与双曲线y2a2-x2=1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则OP→⋅FP→的最小值为（C）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡横线上）12\n13．已知空间一点的坐标是（5，2，﹣6），点在轴上，若，则点的坐标是 ．（8，0，0）或（2，0，0）14．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为.15．直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是 ． ﹣1＜b≤1或b=﹣16．给出下列命题：⑴是幂函数；⑵“”是“”的充分不必要条件；⑶的解集是；⑷函数的图象关于点成中心对称；⑸命题“若，则”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号是(2)(4)(5)（写出所有正确命题的序号）三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2http://_www.wl*n100.com未来脑教学云平#台＞0的解集为B(其中a＜0).(1)求集合B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)x2－ax－2a2＞0⇔(x－2a)(x＋a)＞0，解得xhttp:/$/www.wln100.com|未来脑!教学云平台#＞－a或x＜2a.故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}………………………………………………………4分(2)http://www.wln100.com)未来脑教学云!平台法一 若¬p是¬q的必要不充分条件，则，由此可得p⇒q，而A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}……………………6分由p⇒q，可得A⊆B，……………………………………………………………8分12\n∴-a<3-2<2a，……………………………………………………..10分法二 A＝{x|x≥3或x≤－2}，CUA＝{x|－2＜x＜3}，而CUBh+ttp://ww%w.wln100.com未来脑教学)云平台$＝{x|2a≤x≤－a}，由¬p是¬qhttp://www(.wln100.c?om未来脑教学云平台@$的必要不充分条件，可得¬q⇒¬p，也即，∴2a>-2-a<3，.18.（本小题满分12分）已知函数（其中），﹒（1）若命题“”是真命题，求的取值范围；（2）设命题：，或，若是假命题，求的取值范围.18.即其等价于…………………4分解得，…………………5分故所求x的取值范围是；…………………6分（Ⅱ）因为是假命题，则为真命题，…………………7分而当x＞1时，＞0，…………………9分又是真命题，则时，f(x)<0，所以，即；…11分（或据解集得出）故所求m的取值范围为﹒…………………12分19.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系htt*p://(www.wln100.com未来脑教学云平台%*xOy中，，，，，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若☉Ehttp://www.w#ln100.com未来脑教学云平台))+与直线CD相切，求实数a的值；(2)若点P在☉E上，且使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的☉Eht!tp://www.wln100.com*未来脑$教学云平台#是否存在？若存在，求出☉E的标准方程;若不存在，请说明理由.12\n【答案】(1)直线CD的方程为y=x+4,圆心E(a2,http+://www.wln100.com未!来脑教%学云平台),半径r=22a.…3分ht)tp://www.wln100.com未来脑教学云平台*%由题意,得|a2-a2+4|2=22a,解得a=4.…6分(2)∵|CD|=(-4)2+42=42,…7分∴当△PCD的面积为12时,点P到直线CD的距离为32.…9分又圆心E到直线CD的距离为22(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,需☉E的半径2a2=52,解得a=10,…11分∴存在满足条件的☉E,☉E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50.…12分20．（本题满分12分）已知双曲线C1：的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标.解：（1）因为双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，所以a2=，c2=，…（2分）所以抛物线C2：y2=2px的准线方程是x=﹣，所以p=1，抛物线C2的方程是y2=2x．…（4分）（2）不妨设C（8，4），设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y﹣4=k（x﹣8），x=代入并整理，得ky2﹣2y+8﹣8k=0，方程的两根是4和﹣4，所以y1=﹣4，x1=，A点的坐标是（，﹣4），同理可得B点的坐标（2（2+k）2，﹣2k﹣4），…（7分）12\n直线AB的斜率kAB=，直线AB的方程是y﹣（﹣2k﹣4）=[x﹣2（2+k）2]，即y=（x﹣10）﹣4，…（10分）直线AB过定点，定点坐标是（10，﹣4）． …（12分）21．（本题满分12分）已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线与⊙M相切，求直线的方程；（3）若直线与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线的方程．解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴=（﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∴，则△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．…（4分）（2）当直线与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，…（7分）故直线的方程为y=4或4x﹣3y+12=0．…（8分）（3）当直线与x轴垂直时，方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为；…（9分）当直线的斜率存在时，设：y=kx+4，∵圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，…（11分）故直线的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．…（12分）22．（本题满分12分）设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.12\n解：（1）椭圆的方程为……2分（2）由题意，设AB的方程为由已知得：……8分（3）（1）当直线AB斜率不存在时，即,由得又在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b12\n所以三角形的面积为定值.……`12分12
